Octacontagone

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Un octacontagone est un polygone à 80 sommets, donc 80 côtés et 3 080 diagonales.

La somme des angles internes d'un octacontagone non croisé vaut 14 040 degrés.

L'octacontagone régulier est constructible.

Octacontagones réguliers

Un octacontagone régulier est un octacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a seize : quinze étoilés (notés {80/k} pour k impair de 3 à 39 sauf les multiples de 5) et un convexe (noté {80}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'octacontagone régulier ».

Les seize octacontagones réguliers

Représentation	{80}	{80/3}	{80/7}	{80/9}	{80/11}	{80/13}	{80/17}	{80/19}
Angle interne	175,5°	166,5°	148,5°	139,5°	130,5°	121,5°	103,5°	94,5°
Représentation	{80/21}	{80/23}	{80/27}	{80/29}	{80/31}	{80/33}	{80/37}	{80/39}
Angle interne	85,5°	76,5°	58,5°	49,5°	40,5°	31,5°	13,5°	4,5°

Caractéristiques de l'octacontagone régulier

Chacun des 80 angles au centre mesure ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{80}}=4{,}5^{\circ }}$ et chaque angle interne mesure ${\displaystyle {\frac {14\,040^{\circ }}{80}}=175{,}5^{\circ }}$.

Si a est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut ${\displaystyle P=80\,a}$ ;
• l'aire vaut ${\displaystyle A=20\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{80}}\right)}$ ;
• l'apothème vaut ${\displaystyle H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{80}}\right)}$ ;
• le rayon vaut ${\displaystyle R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{80}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{80}}\right)}}}$.

Constructibilité

L'octacontagone régulier est constructible à la règle et au compas, par exemple par bissection du tétracontagone. On pouvait le prévoir grâce au théorème de Gauss-Wantzel, puisque 80 est le produit de 16 (puissance de 2) par 5 (nombre premier de Fermat).

Référence

• Portail de la géométrie