Cercle mixtilinéaire d'un triangle

Cercle A {\displaystyle A} -mixtilinéaire inscrit dans un triangle A B C {\displaystyle ABC}

En géométrie, un cercle mixtilinéaire d'un triangle est un cercle tangent à deux de ses côtés et intérieurement tangent à son cercle circonscrit. Chaque triangle a trois cercles mixtilinéaires uniques, correspondant à chaque sommet du triangle.

Existence et unicité

On prouve l'existence d'un seul des trois cercles mixtilinéaires par symétrie. Le cercle A-exinscrit (tangent extérieurement au côté BC) du triangle A B C {\displaystyle ABC} est unique.

Soit Φ {\displaystyle \Phi } la composée de l'inversion de pôle A et de rapport A B ⋅ A C {\displaystyle {\sqrt {AB\cdot AC}}} , et de la réflexion par rapport à la bissectrice en A. Φ {\displaystyle \Phi } échange les sommets A et A et échange le centre du cercle inscrit avec le centre du cercle A-exinscrit. Puisque l'inversion et la réflexion sont bijectives et conservent les points de contact, Φ {\displaystyle \Phi } fait de même. Ainsi, l'image du cercle A-exinscrit sous Φ {\displaystyle \Phi } est un cercle tangent intérieurement aux côtés AB, AC et au cercle circonscrit de ABC, c'est un cercle A-mixtilinéaire inscrit.

La même application Φ {\displaystyle \Phi } appliquée à un cercle mixtilinéaire associé au sommet A montre qu'il est unique[1].

Construction

  1. On construit d'abord le centre inscrit I {\displaystyle I} par intersection des bissectrices.
  2. La droite passant par I {\displaystyle I} perpendiculaire à A I {\displaystyle AI} intersecte A B {\displaystyle AB} et A C {\displaystyle AC} aux points D {\displaystyle D} et E {\displaystyle E} respectivement. Ce sont les points de tangence du cercle mixtilinéaire.
  3. Les perpendiculaires à A B {\displaystyle AB} et A C {\displaystyle AC} passant par les points D {\displaystyle D} et E {\displaystyle E} respectivement se croisent en un point noté O A {\displaystyle O_{A}} , qui est le centre du cercle mixtilinéaire.

Cette construction est possible, avec le lemme suivant :

Lemme — Le centre du cercle inscrit est le milieu des points de contact du cercle mixtilinéaire aux deux côtés du triangle.

Construction du cercle mixtilinéaire.
Démonstration

Soit Γ {\displaystyle \Gamma } le cercle circonscrit du triangle A B C {\displaystyle ABC} et T A {\displaystyle T_{A}} le point de tangence du A {\displaystyle A} -cercle mixtilinéaire Ω A {\displaystyle \Omega _{A}} avec Γ {\displaystyle \Gamma } . Soit X ≠ T A {\displaystyle X\neq T_{A}} l'intersection de T A D {\displaystyle T_{A}D} avec Γ {\displaystyle \Gamma }  ; Y ≠ T A {\displaystyle Y\neq T_{A}} l'intersection de T A E {\displaystyle T_{A}E} avec Γ {\displaystyle \Gamma } . L'homothétie de centre T A {\displaystyle T_{A}} entre Ω A {\displaystyle \Omega _{A}} et Γ {\displaystyle \Gamma } implique que X , Y {\displaystyle X,Y} sont les milieux de Γ {\displaystyle \Gamma } arcs A B {\displaystyle AB} et A C {\displaystyle AC} respectivement. Le théorème de l'angle inscrit implique que X , I , C {\displaystyle X,I,C} et Y , I , B {\displaystyle Y,I,B} sont des triplets colinéaires. Le théorème de Pascal appliqué à l'hexagone X C A B Y T A {\displaystyle XCABYT_{A}} inscrit dans Γ {\displaystyle \Gamma } implique que D , I , E {\displaystyle D,I,E} sont colinéaires. Or les angles ∠ D A I {\displaystyle \angle {DAI}} et ∠ I A E {\displaystyle \angle {IAE}} sont égaux, il s'ensuit que I {\displaystyle I} est le milieu du segment D E {\displaystyle DE} [1],[2].


Quelques propriétés

Rayon

La formule suivante relie le rayon r {\displaystyle r} du cercle inscrit et du rayon ρ A {\displaystyle \rho _{A}} du cercle A {\displaystyle A} -mixtilinéaire d'un triangle A B C {\displaystyle ABC}  :

r = ρ A ⋅ cos 2 ⁡ α 2 {\displaystyle r=\rho _{A}\cdot \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}
où α {\displaystyle \alpha } est la mesure de l'angle en A {\displaystyle A} [3].

Relation aux points sur le cercle circonscrit

  • La droite T A I {\displaystyle T_{A}I} coupe l'arc B C {\displaystyle BC} en son milieu[4],[5].
  • Le quadrilatère T A X A Y {\displaystyle T_{A}XAY} est harmonique, ce qui signifie que T A A {\displaystyle T_{A}A} est une symédiane du triangle X T A Y {\displaystyle XT_{A}Y} [1].

Cercles liés au point de tangence avec le cercle circonscrit

T A B D I {\displaystyle T_{A}BDI} et T A C E I {\displaystyle T_{A}CEI} sont deux quadrilatères cycliques[4].

Relation entre les trois cercles mixtilinéaires

Cercles mixtrilinéaires inscrits d'un triangle

Les trois droites T A A {\displaystyle T_{A}A} , T B B {\displaystyle T_{B}B} et T C C {\displaystyle T_{C}C} concourent en un point[3], son nombre de Kimberling est X(56)[6]. Il est défini par des coordonnées trilinéaires a c + a − b : b c + a − b : c a + b − c {\displaystyle {\frac {a}{c+a-b}}:{\frac {b}{c+a-b}}:{\frac {c}{a+b-c}}} et coordonnées barycentriques a 2 c + a − b : b 2 c + a − b : c 2 a + b − c {\displaystyle {\frac {a^{2}}{c+a-b}}:{\frac {b^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c^{2}}{a+b-c}}} .

Cercles mixtrilinéaires exinscrits d'un triangle

Le centre radial des trois cercles inscrits mixtilignes est un point J {\displaystyle J} qui divise O I {\displaystyle OI} avec rapport

O J : J I = 2 R : − r {\displaystyle OJ:JI=2R:-r}
où I , r , O , R {\displaystyle I,r,O,R} sont respectivement les centres et rayons des cercles inscrit et circonscrit[5].

Voir aussi

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mixtilinear circle » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ a b et c (en) Jafet Baca, « On Mixtilinear Incircles » (consulté le )
  2. ↑ Jean-Louis Aymé, « Gaston Albert Gohierre de Longchamps dans les journaux scientifiques » [archive] [PDF]
  3. ↑ a et b (en) Paul Yui, « Mixtilinear Incircles », The American Mathematical Monthly, vol. 106, no 10,‎ , p. 952–955 (DOI 10.1080/00029890.1999.12005146, lire en ligne, consulté le )
  4. ↑ a et b (en) Evan Chen, Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads, United States of America, MAA, , 68 p. (ISBN 978-1-61444-411-4)
  5. ↑ a et b (en) Khoa Lu Nguyen et Juan Carlos Salazar, « On Mixtilinear Incircles and Excircles », (consulté le ), p. 1-6
  6. ↑ (en) « ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS », faculty.evansville.edu (consulté le )
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