Aire d'un polygone

En géométrie, l'aire d'un polygone correspond à la mesure de la superficie (c'est-à-dire l'aire) de la région délimitée par le polygone.

Polygones simples

Si un polygone simple (c'est-à-dire sans aucune intersection d'aucune paire quelconque de côtés, en dehors du sommet commun à deux côtés successifs) a n sommets qui sont les points

${\displaystyle P_{0},\ P_{1},\ \ldots ,\ P_{n}=P_{0}}$

et si P_i a pour coordonnées (x_i , y_i) alors^[1] l'aire du polygone (considérée comme un nombre positif si les sommets sont ordonnés dans le sens trigonométrique et négatif dans le cas contraire) est donnée par :${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),}$expression qui peut s'interpréter comme la somme des aires des triangles OP_iP_i+1 (avec la même convention de signe), ou encore :${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i+1}+x_{i})(y_{i+1}-y_{i})=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_{i})(y_{i+1}+y_{i})}$(ces formules ne sont valables que pour un polygone simple : par exemple un antiparallélogramme, juxtaposition de deux triangles égaux joints par un sommet et parcouru en « huit », donnera une aire totale nulle, résultat de la somme de deux aires opposées, les deux triangles étant parcourus dans des sens contraires).

Polygones réguliers

Pour un polygone régulier avec n côtés de longueur c, l'aire A est donnée par :

${\displaystyle A={\frac {nc^{2}}{4\tan(\pi /n)}}.}$

Voir aussi

• Théorème de Pick pour calculer l'aire d'un polygone dont tous les sommets sont sur une grille
• Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien

Notes et références

• Portail de la géométrie