Aire d'un triangle

L'aire d'un triangle est, en géométrie euclidienne, une mesure de la surface plane déterminée par trois points et les segments joignant ces points. L'intérêt de l'aire d'un triangle provient du fait que tout polygone peut être scindé en triangles. Il existe plusieurs méthodes de calcul de cette aire, suivant ce qui est connu du triangle, la plus connue étant celle utilisant une hauteur h et la base b associée :

S={\frac {b\times h}{2}}.

Une autre formule, dite formule de Héron, permet le calcul de l'aire connaissant les longueurs des trois côtés a, b et c d'un triangle et donc aussi leur demi-somme p :

S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.

Plus simplement : $S={\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}/4.$

Elle peut se déduire de la loi des sinus, l'aire du triangle étant déduite d'un angle et de ses côtés adjacents. Si les deux côtés adjacents au sommet C d'un triangle ont pour longueur a et b et si l'angle en C a pour mesure γ, alors l'aire est donnée par :

S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma .

Calcul de l'aire

À partir d'une hauteur

L'aire d'un triangle peut être calculée en le décomposant en deux triangles rectangles.

Si le triangle est rectangle, il est immédiat que son aire est

S={\dfrac {ah}{2}},

où a est la longueur d'un côté différent de l'hypoténuse et h la longueur de la hauteur issue de ce côté. Si le triangle n'est pas rectangle, la relation reste vraie, car le triangle se décompose en deux triangles rectangles (comme sur la figure).

Démonstration par la méthode du cisaillement

À partir de la formule donnant l'aire d'un rectangle, Euclide démontre d'une part (proposition XXXV du premier livre des Éléments) : « Les parallélogrammes constitués sur une même base, et entre mêmes parallèles, sont égaux^[1] entre eux. » d'autre part (proposition XLI) : « Si un parallélogramme, et un triangle ont une même base, et sont entre mêmes parallèles ; le parallélogramme sera double du triangle. »

Démonstration

Considérons les deux parallélogrammes ABCD et BCFE, les deux sur la même base, BC, et entre les mêmes parallèles, BC et AF. On a AD qui est égal à BC (car ce sont les deux bases du parallélogramme ABCD), et BC qui est égal à EF (car ce sont les deux bases du parallélogramme BCFE), alors AD est égal à EF. Or, il n’y a que trois possibilités (montrées dans l’image) pour la position du point E relatif à D ; E peut être à la gauche de D, au point D, ou à la droite de D. Examinons chaque cas:

Si E tombe à la gauche de D, ED est la partie commune de AD et EF, alors il est possible de vérifier que AD et EF sont égaux. Mais notez que les côtés AB et DC sont égaux, car ils sont des côtés opposés du parallélogramme ABCD. Aussi, parce que les points A, E, D et F sont alignés, les angles BAE et CDF sont égaux. Par conséquent, les triangles BAE et CDF sont égaux, parce que deux côtés de l’un sont égaux à deux côtés de l’autre, et que les angles formés par ces deux côtés sont égaux. Donc les parallélogrammes ABCD et CBEF ne sont que des différents rangements du trapèze BEDC et le triangle BAE (ou CDF). CQFD
Si E tombe au point D, on trouve d’une façon semblable à 1 que les triangles BAE et CDF sont égaux, et alors qu’il est possible d’obtenir les parallélogrammes ABCD et BCFE en ajoutant à la partie commune BCD le triangle BAE (ou bien CDF). CQFD
Si E tombe à la droite de D, notez que, parce que les segments AD et EF sont égaux, en ajoutant à chacun la ligne DE, nous trouvons que AE et DF sont égaux. Par un argument semblable à ceux utilisés dans les cas 1 et 2, il est possible de prouver que les triangles BAE et CDF, et par conséquent les trapèzes BADG et CGEF, sont égaux. Alors, il est évident que les parallélogrammes ABCD et CBEF sont obtenus en ajoutant au triangle commun BCG le trapèze BADG (ou CGEF). CQFD

Le remplacement d’un parallélogramme par un autre de même base et même hauteur, justifié par cette proposition, est connu en mathématiques sous le nom de cisaillement. Le cisaillement sera très important dans la preuve de la proposition XLI :

Considérons un parallélogramme ABCD, et soit E un point sur l’extension de AD. Nous voulons démontrer que l’aire de ABCD est deux fois l’aire de BEC. Traçant la diagonale AC, nous voyons que l’aire de ABCD est deux fois l’aire de ABC. Mais, l’aire du triangle ABC est égale à l’aire du triangle BEC, car ils ont la même base. Alors, deux fois l’aire de BEC égale deux fois l’aire de ABC, c’est-à-dire l’aire de ABCD. Nous avons montré que ABCD (qui est double de ABC) est double de BEC.

À partir des longueurs des trois côtés

Pour une expression de l'aire d'un triangle dont les longueurs des côtés sont a, b et c et le demi-périmètre $p={\dfrac {a+b+c}{2}}$ , on peut utiliser la formule de Héron :

S={\dfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.

À partir des coordonnées des sommets

L'aire d'un triangle est calculée à partir d'un parallélogramme.

L'aire du parallélogramme défini par deux vecteurs ${\overrightarrow {u}}$ , ${\overrightarrow {v}}$ est la norme de leur produit vectoriel :

S_{p}=\left\|{{\overrightarrow {u}}\wedge {\overrightarrow {v}}}\right\|.

On peut calculer l'aire d'un triangle à partir de cette formule :

S={\dfrac {1}{2}}\left\|{{\overrightarrow {AB}}\wedge {\overrightarrow {AC}}}\right\|.

Un repère orthonormé étant donné, l'aire du triangle ABC peut être calculée à partir des coordonnées des sommets.

Dans le plan, si les coordonnées de A, B et C sont données par $A(x_{A},y_{A})$ , $B(x_{B},y_{B})$ et $C(x_{C},y_{C})$ , alors l'aire S est la moitié de la valeur absolue du déterminant

S={\dfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}-x_{A}&x_{C}-x_{A}\\y_{B}-y_{A}&y_{C}-y_{A}\end{pmatrix}}\right|={\dfrac {1}{2}}|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})|.

L'aire du triangle ABC peut aussi se calculer à partir de la formule

S={\dfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\dfrac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{C}-x_{A}y_{B}+x_{B}y_{A}-x_{B}y_{C}+x_{C}y_{B}-x_{C}y_{A}{\big |}.

Cette méthode se généralise en trois dimensions. L'aire du triangle ABC où $A=(x_{A},y_{A},z_{A})$ , $B=(x_{B},y_{B},z_{B})$ et $C=(x_{C},y_{C},z_{C})$ s'exprime comme

S={\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}}}.

Notes

Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Théorème de Pythagore » (voir la liste des auteurs).

Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Triangle » (voir la liste des auteurs).

↑ En langage actuel, on parlerait d’une égalité des aires plutôt que d’une égalité entre figures.

Voir aussi

Lien externe

Outil de calcul en ligne de l'aire du triangle

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron