Théorème de Gergonne

Cet article est une ébauche concernant la géométrie.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Le théorème de Gergonne est le théorème de géométrie affine suivant :

Dans un plan affine, soient ABC un triangle non aplati, et A' , B' , C' trois points appartenant respectivement aux droites (BC), (CA) et (AB). Si les droites (AA' ), (BB' ) et (CC' ) sont concourantes en un point M, alors les mesures algébriques vérifient :

A ′ M ¯ A ′ A ¯ + B ′ M ¯ B ′ B ¯ + C ′ M ¯ C ′ C ¯ = 1   . {\displaystyle {\frac {\overline {A'\,M}}{\overline {A'\,A}}}+{\frac {\overline {B'\,M}}{\overline {B'\,B}}}+{\frac {\overline {C'\,M}}{\overline {C'\,C}}}=1~.}
Démonstration

Soient a, b, c (de somme 1) les coordonnées barycentriques du point M dans le repère affine (A,B,C) : M est égal à aA+bB+cC donc aussi, par associativité du barycentre, à (a+b)C'+cC, si bien que

C ′ M ¯ C ′ C ¯ = c   . {\displaystyle {\frac {\overline {C'\,M}}{\overline {C'\,C}}}=c\ .}

De même,

A ′ M ¯ A ′ A ¯ = a et B ′ M ¯ B ′ B ¯ = b   , {\displaystyle {\frac {\overline {A'\,M}}{\overline {A'\,A}}}=a\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\overline {B'\,M}}{\overline {B'\,B}}}=b\ ,}

d'où le résultat, en additionnant les trois.

  • icône décorative Portail de la géométrie