Função de Weierstrass

Em matemática, a função de Weierstrass é um importante contra-exemplo mostrando a existência de uma função contínua em toda a reta real que não possui derivada em nenhum ponto do domínio. Recebe o nome em honra a seu descobridor o matemático Karl Weierstrass. A função de Weierstrass é primeira função publicada a apresentar tal patologia.

Embora seja considerada por muitos como um caso patológico, pode-se afirmar que, em certo sentido, o comportamento da função de Weierstrass é o caso mais comum. Sendo o conjunto das funções diferenciáveis em pelo menos um ponto um conjunto magro dentro do espaço de Banach das funções contínuas com a norma do supremo.

Definição

A função de Weierstrass é definida pela seguinte série de Fourier:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x)}$

onde ${\displaystyle a\in (0,1)}$ e ${\displaystyle b}$ é um inteiro positivo ímpar tal que:

${\displaystyle ab>1+{\frac {3}{2}}\pi }$

Nova Demonstração do Teorema de Weierstrass

O nosso objetivo aqui é apresentar uma demonstração do teorema de Weierstrass

usando apenas noções relativas às séries de Fourier.

Teorema de Weierstrass

A função dita de Weierstrass definida por :

${\displaystyle W(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}\cos(a^{n}\pi x)}$

onde ${\displaystyle b\in (0,1)}$ e ${\displaystyle a}$ é um inteiro positivo ímpar tal que

${\displaystyle ab>1+{\frac {3}{2}}\pi }$ ,é contínua em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e não diferenciável em qualquer ponto.

Demonstração do Teorema de Weierstrass

Continuidade de W

Observe que :

${\displaystyle b\in (0,1)}$

implica :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b^{n}={\frac {1}{1-b}}<\infty }$.

Isso junto com

${\displaystyle sup_{x\in R}|b^{n}\cos(a^{n}\pi x)|\leq b^{n}}$

nos permite estabelecer , usando o Weierstrass ${\displaystyle M-test}$,^[1] que

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b^{n}\cos(a^{n}\pi x)}$

converge uniformemente para ${\displaystyle W(x)}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

A Continuidade de ${\displaystyle W}$ vem então da convergência uniforme das séries.

(Definição 2.41 e Teorema 2.59 do livro ^[1] ).

Não Diferenciabilidade de W (em qualquer ponto)

Aqui, usamos os lemas 3.2 e 3.3 do Capítulo 4 do livro de Shakarchi ^[2]

Quando:

${\displaystyle 2N=b^{n}}$, então

${\displaystyle \Delta _{2N}(W)-\Delta _{N}(W)=b^{n}\cos(a^{n}\pi x);}$

Supondo que ${\displaystyle W}$ é diferenciável em ${\displaystyle x_{0}}$, obtemos o seguinte resultado :

${\displaystyle \Delta _{2N}(W)'(x_{0})-\Delta _{N}(W)'(x_{0})=(b^{n}\cos(a^{n}\pi x))'=O(\log N)}$,

ou seja,

${\displaystyle |(ab)^{n}sen(a^{n}(x_{0}+h))|=O(\log N)}$, onde ${\displaystyle |h|\leq c/N}$.

Para obter a contradição, precisamos apenas escolher ${\displaystyle h}$ de modo que:

${\displaystyle |sen(a^{n}(x_{0}+h))|=1}$ ;

Tomando:

${\displaystyle |h|=|\delta |/a^{n}}$,

onde

${\displaystyle \delta =\pi (k+1/2)-a^{n}x_{0}}$,

para algum ${\displaystyle k\in Z}$, temos:

${\displaystyle |(ab)^{n}sen(a^{n}(x_{0}+h))|=(ab)^{n}\rightarrow \infty }$ quando ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ,

pois

${\displaystyle ab>1+{\frac {3}{2}}\pi }$ .

Contradição,

pois :

${\displaystyle |(ab)^{n}sen(a^{n}(x_{0}+h))|=O(\log N)}$.

Portanto, ${\displaystyle W}$ não é diferenciável em ${\displaystyle x_{0}}$ .

Como ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ é arbitrário,

temos que ${\displaystyle W}$ não é diferenciável em qualquer ponto.

Conclusão

A função de Weierstrass ${\displaystyle W}$ é contínua em todos os pontos de

${\displaystyle \mathbb {R} }$ mas não é diferenciável em qualquer ponto de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Ligações externas

• http://www.wolframalpha.com/entities/mathworld/weierstrass_function/ei/zb/8y/^{[ligação inativa]}

Ver também

• Função de Liouville
• Função de Mertens
• Soma de Ramanujan

Referências

• Harmonic Analysis:from Fourier to Wavelets / María Cristina Pereyra , Lesley A. Ward/ ISBN 978-0-8218-7566-7
• Fourier Analysis:An introduction /Shakarchi; pp 116–117

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