Função de Bessel

A Função de Bessel, foi definida pela primeira vez por Daniel Bernoulli e generalizada por Friedrich Bessel. Ela é a solução da equação diferencial:

x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+(x^{2}-\ p^{2})y=0,

para um número real $p$ . Ela é denominada equação de Bessel de índice $p$ .

Definição

Como a função de Bessel é obtida a partir da solução de uma equação diferencial de segunda ordem, esta deve possuir duas soluções linearmente independentes.^[1] Entretanto, a depender das circunstâncias, múltiplas formulações dessas soluções podem ser convenientes. As diferentes variações com nomenclatura são resumidas na tabela abaixo.

Type	First kind	Second kind
Bessel functions	J_α	Y_α
Funções de Bessel modificadas	I_α	K_α
Funções de Hankel	H(1) α = J_α + iY_α	H(2) α = J_α − iY_α
Funções de Bessel esféricas	j_n	y_n
Funções de Hankel esféricas	h(1) n = j_n + iy_n	h(2) n = j_n − iy_n

As funções de Bessel de segunda espécie e as funções de Bessel esféricas de segunda espécie são por vezes denotadas por N_n e n_n, respectivamente, ao invés de Y_n e y_n.^[2]^[3]

Dedução das funções de Bessel principais

Utilizando o método de resolução de equações diferencias por séries de potências:

O ponto $x_{0}=0$ é um ponto singular regular para a equação de Bessel. Desta forma podemos aplicar o método de Frobenius para este ponto singular regular. O método consiste em procurar a seguinte solução:

$y=(x-x_{0})^{r}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$

Aplicada no ponto singular regular. Como zero é um ponto singular regular da equação de Bessel podemos aplicar a equação acima substituindo $x_{0}$ por zero:

$y=x^{r}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n},a_{0}\neq 0$

$y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+r},a_{0}\neq 0$

Substituindo a solução na equação, temos:

$\sum _{n=0}^{\infty }(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r}+\sum _{n=0}^{\infty }(n+r)a_{n}x^{n+r}+\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+r+2}-\sum _{n=0}^{\infty }p^{2}a_{n}x^{n+r}=0$

Podemos juntar o 1º, 2º e 4º somatório:

$\sum _{n=0}^{\infty }((n+r)^{2}-p^{2})a_{n}x^{n+r}+\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+r+2}=0$

No segundo somatório substituímos n por um número k qualquer de maneira que $n=k-2$ e fatorando os termos elevados ao quadrados do primeiro somatório:

$\sum _{n=0}^{\infty }(n+r+p)(n+r+p)a_{n}x^{n+r}+\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k+r}=0$

Podemos agora substituir k por n no segundo somatório:

$\sum _{n=0}^{\infty }(n+r+p)(n+r+p)a_{n}x^{n+r}+\sum _{n=2}^{\infty }a_{n-2}x^{n+r}=0$

Separando os dois primeiros termos do primeiro somatório, o primeiro somatório agora começa a partir de n=2 e podemos agrupar os dois somatórios em somente um somatório que começa em n=2: $(n+r)(r-p)a_{0}x^{r}+(r+p+1)(r-p+1)a_{1}x^{r+1}+\sum _{n=2}^{\infty }((n+r+p)(n+r-p)a_{n}+a_{n-2})x^{n+r}=0$ Como temos que toda esta equação deve ser zero e como definimos inicialmente que $a_{0}\neq 0$ :

$(r+p)(r-p)=0$

$(r+p+1)(r-p+1)a_{1}=0$

$(n+r+p)(n+r-p)a_{n}+a_{n-2}=0$

Resolvendo a primeira equação das três obtemos duas raízes:

$r_{1}=p$

$r_{2}=-p$

Usando a primeira solução, ou seja $r_{1}=p$ , e substituindo na segunda equação:

$(2p+1)a_{1}=0$

Desta forma obtemos:

$a_{1}=0$

Substituindo $r_{1}=p$ na terceira equação:

$(n+2p)na_{n}+a_{n-2}=0$

Esta igualdade é valida para n=2,3,4,...

Isolando o termo $a_{n}$ na equação, obtemos:

$a_{n}=-{\frac {a_{n-2}}{n(n+2p)}}$

Desta forma sabemos que os termos a de índices ímpares são zero enquanto que termos de índice par seguem a regra de recorrência acima indicada. Para descobrirmos $a_{2}$ ,por exemplo, só necessitamos trocar todos os números genéricos n na fórmula de recorrência por 2:

$a_{2}=-{\frac {a_{0}}{2(2+2p)}}$

Para descobrir $a_{4}$ fazemos o mesmo procedimento descrito anteriormente mas para n=4:

$a_{4}=-{\frac {a_{2}}{4(4+2p)}}$

Colocamos o valor de $a_{2}$ já foi determinada substituímos seu valor na fórmula acima:

$a_{4}={\frac {a_{0}}{2.4(2+2p)(4+2p)}}$

Em geral,

$a_{2n}={\frac {(-1)^{n}a_{0}}{n!(1+p)(2+p)...(n+p).2^{2n}}}$

De maneira geral ao valor de $a_{0}$ é atribuído:

$a_{0}={\frac {1}{2^{p}\Gamma (1+p)}}$

Utilizando a identidade:

$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$

Temos que $a_{2n}$ que pode ser escrito da seguimte forma:

$a_{2n}=-{\frac {(-1)^{n}}{n!\Gamma (n+p+1)2^{2n+p}}}$

A primeira solução da equação de Bessel é:

$y_{1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\Gamma (n+p+1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2n+p}$

A função obtida é denominada função de Bessel de 1ª espécie de índice p e nos referimos a ela como

J_{p}(x)

Gráfico das funções de Bessel de segunda espécie para α= 0, 1, 2^[5]

J_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\Gamma (n+p+1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2n+p}

A função de Bessel de primeira espécie pode ser representada para p=m=0,1,2,3,...:

J_{m}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!(n+m)!}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2n+m}.

A função de Bessel de segunda espécie pode ser obtida através do método de D’Alembert, e, para $\alpha$ inteiro, tem a forma:

Y_{m}(x)={\frac {J_{m}(x)\cos(m\pi )-J_{-m}(x)}{\sin(m\pi )}}.

Casos particulares

As funções de Bessel para $m=\pm {\frac {1}{2}}$ podem ser escritas em termos de funções elementares:^[6]

$J_{\frac {1}{2}}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}sen(x)$ e $J_{-{\frac {1}{2}}}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}cos(x)$

Transformada de Laplace

Seja a Equação de Bessel $J_{0}(at){=}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\cdot {\frac {{\Bigl (}{\frac {at}{2}}{\Bigr )}^{2n}}{(n!)^{2}}}$ , então temos que sua transformada de Laplace é dada por^[7]: ${\mathcal {L}}\left\{J_{0}(at)\right\}{=}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\cdot {\frac {{\Bigl (}{\frac {a}{2}}{\Bigr )}^{2n}}{(n!)^{2}}}\cdot {\mathcal {L}}\left\{J_{0}(at)\right\}{=}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\cdot {\frac {{\Bigl (}{\frac {a}{2}}{\Bigr )}^{2n}}{(n!)^{2}}}\cdot {\frac {({2n}!)}{s^{2n+1}}}{=}{\frac {1}{s}}\cdot {\Bigl [}1-{\frac {1}{2}}\cdot {\Bigl (}{\frac {a}{s}}{\Bigr )}^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\Bigl (}{\frac {a}{s}}{\Bigr )}^{4}+...{\Bigr ]}{=}{\frac {1}{s}}\cdot {\Bigl (}1+{\Bigl (}{\frac {a}{s}}{\Bigr )}^{2}{\Bigr )}^{\frac {-1}{2}}{=}{\frac {1}{s}}\cdot {\Bigl (}{\frac {s^{2}+a^{2}}{s^{2}}}{\Bigr )}^{\frac {-1}{2}}{=}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}$

Propriedades

Algumas relações da função de Bessel da primeira espécie:

Para $p$ inteiro: $J_{-p}(x)=(-1)^{p}J_{p}(x)$
Para $p$ não inteiro: $J_{p}(x)eJ_{-p}(x)$ são linearmente independentes
${\frac {d}{dz}}\{J_{p}(z)\}=J_{p-1}(z)-{\frac {p}{z}}J_{p}(z)$
${\frac {d}{dz}}\{z^{p}J_{p}(z)\}=z^{p}J_{p-1}(z)$

Aplicações

Solução das equações de Laplace e Helmholtz, em coordenadas cilíndricas ou esféricas;
- Ondas eletromagnéticas;
- Análise de sinais modulados em frequência (FM);
- Condução de calor;
- Vibração;
- Difusão.
- Processamento de sinais (filtro Bessel).
- Soluções para a equação de Schrödinger radial (em coordenadas esféricas e cilíndricas) de uma partícula livre.
- Solução para os padrões de radiação acústica.
- atrito em função da frequência em condutas circulares.
- A dinâmica de corpos flutuantes.^[8]

Referências

↑ Figueiredo, Djairo Guedes de (1997). Equações Diferenciais Aplicadas. [S.l.: s.n.] line feed character character in |titulo= at position 22 (ajuda)
↑ Weisstein, Eric W. «Spherical Bessel Function of the Second Kind» (em inglês). MathWorld
↑ Weisstein, Eric W. «Bessel Function of the Second Kind» (em inglês). MathWorld
↑ «Confira estes exemplos e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 22 de março de 2016
↑ «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 22 de março de 2016
↑ BRAUN, Martin (1975). Differential Equations and Their Applications. [S.l.: s.n.]
↑ «Transformada de Laplace». Universidade Federal do Rio Grande do Sul. 30 de julho de 2018. Consultado em 30 de agosto de 2018
↑ «Bessel function»