Espaço Lp

Em matemática, sobretudo na teoria da medida e na análise funcional, os espaços ${\displaystyle L^{p}}$ são um dos mais importantes espaços funcionais.

Definição

Seja ${\displaystyle f:D\to \mathbb {C} \,}$ uma função mensurável à Lebesgue definida em domínio ${\displaystyle D\,}$ mensurável.

• Se ${\displaystyle p\in [1,\infty )\,}$, ${\displaystyle f\,}$ é dita p-integrável e pertence ao espaço L^p se sua norma L^p for finita:

${\displaystyle \|f\|_{L^{p}(D)}=\left(\int _{D}|f(x)|^{p}dx\right)^{1/p}}$.

• Se ${\displaystyle p=\infty \,}$, ${\displaystyle f\,}$ é dita essencialmente limitada e pertence ao espaço ${\displaystyle L^{\infty }\,}$ se existir uma constante ${\displaystyle C\,}$ real tal que:

${\displaystyle \mu \{x\in D:|f|>C\}=0\,}$, ou seja, ${\displaystyle |f|\leq C\,}$ exceto em conjunto de medida zero.

A norma ${\displaystyle \|f\|_{L^{\infty }(D)}\,}$ é a menor das contantes com a propriedade acima, ou seja:

${\displaystyle \|f\|_{L^{\infty }(D)}=\inf\{C:\mu \{|f(x)|>C\}=0\}\,}$.

Espaços de Banach

Se as funções em um espaço de Banach são identificadas apenas quase sempre, então as normas estão bem definidas através da desigualdade de Minkowski.

Espaço L²

O espaço ${\displaystyle L^{2}(D)\,}$ é um espaço de Hilbert dotado do seguinte produto interno:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{D}{\overline {f(x)}}{g}(x)dx\,}$.

As funções deste espaço são chamadas de quadrado integráveis e assumem um papel fundamental na teoria das séries de Fourier.

Ver também

• Espaço lp
• Espaço de Banach
• Desigualdade de Hölder
• Desigualdade de Minkowski