Trapezi

Trapezi

Trapezi
Tipus	quadrilàter convex i quadrilàter
Forma de les cares	aresta (4)
Més informació
MathWorld	Trapezoid

Un trapezi és un quadrilàter simple i convex amb com a mínim dos costats paral·lels. Aquests costats paral·lels s'anomenen les bases del trapezi, i els costats no paral·lels (si n'hi ha) són els costats o arestes laterals.^[1]

Classificació

Els trapezis solen classificar-se segons diversos criteris, en general no excloents.

Segons els angles

Un trapezi té quatre angles interiors, la suma dels quals és sempre 2π (i.e. 360°).

• Si té dos angles rectes adjacents, s'anomena trapezi rectangle.^[2] Si té un tercer angle també recte, aleshores el quart angle també ho és i el trapezi és un rectangle.
• Si té dos angles obtusos no adjacents (i, per tant, també dos angles aguts no adjacents), s'anomena trapezi obtusangle.
• Si té dos angles aguts adjacents (i com a resultat també dos angles obtusos adjacents), s'anomena trapezi acutangle. En aquest cas, els angles aguts sempre seran a banda i banda de la base major del trapezi i els obtusos a banda i banda de la base menor.

Segons els costats

• Si no hi ha cap parell de costats de la mateixa longitud, s'anomena trapezi escalè.
• Si els dos costats paral·lels tenen la mateixa longitud, s'anomena trapezi isòsceles. En aquest cas, els seus angles són iguals dos a dos (els dos angles d'una mateixa base són iguals entre ells).^[3] A més, les seves dues diagonals tenen la mateixa longitud. Els trapezis isòsceles són sempre acutangles. El grup de simetria d'un triangle isòsceles és sempre el grup diedral D₂.

  

  • En particular, si un tercer costat té la mateixa longitud que els costats paral·lels s'anomena trapezoide trisòsceles o trapezoide trilateral.
• Si tots els seus costats són iguals, és un quadrat.

Altres classificacions

• Si el trapezi té els seus costats paral·lels dos a dos, s'anomena paral·lelogram.
• Si existeix una circumferència inscrita al trapezi (és a dir, una circumferència tangent a tots els costats del trapezi) s'anomena trapezi tangencial.

Caracterització

Donat un quadrilàter convex Q, les següents afirmacions són equivalents:^[4]

• Que és un trapezi.
• Que té dos angles adjacents que són suplementaris.
• L'angle entre un costat i una diagonal és igual a l'angle entre el costat oposat i la mateixa diagonal.
• Les seves diagonals el tallen en 4 triangles de manera que els triangles oposats tenen la mateixa àrea.
• El producte de les àrees dels triangles formats en partir Q per una diagonal és independent de la diagonal triada.
• Siguin T₁ T₂ dos triangles oposats d'entre els obtinguts en tallar Q per les dues diagonals. Es compleix ${\displaystyle {\sqrt {{\text{Àrea}}(Q)}}={\sqrt {{\text{Àrea}}(T_{1})}}+{\sqrt {{\text{Àrea}}(T_{2})}}}$
• El punt mitjà de cadascun de dos costats oposats i el punt de tall de les diagonals estan alineats.
• Siguin α, β, γ i δ els quatre angles interiors de Q de manera que α i γ són oposats, es compleix ${\displaystyle \sin {\alpha }\sin {\gamma }=\sin {\beta }\sin {\delta }}$
• La suma dels cosinus de dos angles adjacents és zero, i la suma dels cosinus dels dos altres angles adjacents també és zero.
• La suma de les cotangents de dos angles adjacents és zero, i la suma de les cotangents dels dos altres angles adjacents també és zero.
• Existeix una bimediana que parteix Q en dos quadrilàters d'àrees iguals.

Mesures elementals

Donat un trapezi de bases ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$, amb ${\displaystyle a\leq b}$, i costats laterals ${\displaystyle c}$ i ${\displaystyle d}$, es tenen els valors següents: L'altura ${\displaystyle h}$ es pot calcular com:

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {4(a-c)^{2}d^{2}-[d^{2}+(a-c)^{2}-b^{2}]^{2}}}{2(a-c)}}}$

L'àrea ${\displaystyle A}$ es pot trobar a partir de la fórmula:

${\displaystyle A={\frac {(a+b)h}{2}}}$

La longitud del segment mitjà ${\displaystyle m}$ del trapezi (el segment que uneix els punts mitjans dels costats laterals, i que, per tant, és paral·lel a les bases) es calcula amb la fórmula següent:

${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}$

El baricentre o centre de massa del trapezi de bases està situat en el segment que uneix els punts mitjans de les seves bases, a una distància perpendicular ${\displaystyle l}$ expressada per:^[5]

${\displaystyle l={\frac {h}{3}}\cdot {\frac {2a+b}{a+b}}}$

Diagonals

Donat un trapezi de bases ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$, amb ${\displaystyle a<b}$, i de costats laterals ${\displaystyle c}$ i ${\displaystyle d}$. Les longituds de les seves diagonals són:^[6]

${\displaystyle {L}_{1}={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}},}$

${\displaystyle {L}_{2}={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{b-a}}}}$

A més, sigui ${\displaystyle O}$ la intersecció entre les dues diagonals, siguin ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ els vèrtexs d'una de les bases i siguin ${\displaystyle C}$ i ${\displaystyle D}$ els vèrtexs de l'altra es compleix sempre que:^[6]

${\displaystyle {\text{Àrea}}(AOD)={\text{Àrea}}(BOC)}$

Amb la mateixa nomenclatura de punts esmentada, sigui ${\displaystyle M}$ el segment inscrit al trapezi i paral·lel a les bases que passa per ${\displaystyle O}$, es compleix que la longitud de ${\displaystyle M}$ és la mitjana harmònica dels costats laterals,^[7] és a dir que

${\displaystyle {\frac {1}{\lVert M\rVert }}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\lVert AD\rVert }}+{\frac {1}{\lVert BC\rVert }}\right)}$

Aplicacions

Diversos fenòmens i formes de la natura són modelitzables a partir d'un trapezi. A més, el trapezi es fa servir àmpliament en enginyeria i arquitectura. D'entre les aplicacions esmentades en destaquen, per àrea, les següents:

Anatomia humana

En anatomia humana prenen el nom del trapezi, per la seva forma, un os de la mà i un múscul de les extremitats superiors.

Arquitectura

En arquitectura, el terme es fa servir per referir-se a portes, finestres i edificis simètrics construïts més amples a la base, afilant-se cap a la part superior, a l'estil egipci. Si aquests tenen costats rectes i cantonades angulars, les seves formes solen ser trapezis isòsceles. Aquesta forma apareix ja en l'arquitectura de l'Antiguitat, i era per exemple l'estil estàndard per a les portes i finestres de l'arquitectura inca.^[8]

Astronomia

El cúmul del Trapezi, al centre de la nebulosa d'Orió, que pren el nom de l'asterisme de quatre estrelles relativament brillants que conté —en una forma que recorda a un trapezi.

Biologia

Més enllà dels usos en anatomia ja esmentats, àrees de la biologia com la morfologia, la taxonomia i altres disciplines descriptives usen el terme en situacions diverses. En taxonomia en trobem com a exemples la subfamília dels trapezitins, el gènere dels trapezites o la família trapèzids. En morfologia, elements com el protòrax d'alguns insectes es presenten en formes similars a trapezis.

Enginyeria

En enginyeria, i especialment en arquitectura de computadors, els trapezis s'empren per a representar els multiplexors.

Teoria de nombres

En la branca matemàtica de la teoria de nombres s'anomenen nombres trapezoïdals aquells nombres naturals que es poden escriure com la suma de dos o més nombres naturals majors que u.

Referències

Viccionari