Dodecàgon

Dodecàgon

Tipus	polígon i dodecàtop
Forma de les cares	aresta (12)
Configuració de vèrtex	segment
Elements
Vèrtexs	12
Arestes	12
Sèrie
← hendecàgon tridecàgon →
Més informació
MathWorld	Dodecagon

En geometria, un dodecàgon és un polígon de dotze costats i, per tant, de dotze vèrtexs.^[1]

El nom "dodecàgon" prové del grec antic dodecagon, de dodeca "dotze" + gon "angle".^[2]

Els angles interns d'un dodecàgon sumen 1800º.

Dodecàgon regular

Un dodecàgon és regular quan tots els seus costats i angles tenen la mateixa mesura. Els angles interiors d'un dodecàgon són de 1800º / 12 = 150º.

El dodecàgon regular és construïble amb regle i compàs.^[3]

El símbol de Schläfli és {12} i pot ser construït com un hexàgon truncat, t{6}, o un triangle doblement truncat, tt{3}.

Perímetre

El perímetre d'un dodecàgon regular de costat ${\displaystyle L}$ és

${\displaystyle P=12\cdot L}$

O bé, en termes del circumradi ${\displaystyle r}$ és ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=24r\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=12r{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\\&\simeq 6.21165708246\,r\end{aligned}}}$

Àrea

L'àrea d'un dodecàgon regular de costat ${\displaystyle L}$ és ^[5]

${\displaystyle A={\frac {3\cdot L^{2}}{\tan({\frac {\pi }{12}})}}=L^{2}\cdot (6+3{\sqrt {3}})\simeq 11,1962\ L^{2}}$

O bé, en funció de l'apotema ${\displaystyle a}$ i del costat ${\displaystyle L}$ del dodecàgon,

${\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}={\frac {12\cdot L\cdot a}{2}}=6\cdot L\cdot a}$

També, en funció d'únicament l'apotema ${\displaystyle a}$,^[5]

${\displaystyle A=a^{2}\cdot (24-12{\sqrt {3}})}$

I, finalment, en funció del radio ${\displaystyle r}$ de la circumferència circumscrita al dodecàgon,^[6]

${\displaystyle A=3r^{2}}$

Construcció d'un dodecàgon regular

A continuació es presenta un mètode de construcció del dodecàgon regular amb regle i compàs en 23 passos. Cal tenir en compte que entre els passos 8 i 11 no es modifica l'obertura del compàs.

Vegeu també

• Dodecaedre

Referències

Viccionari