Üçgen

Üçgen

Bir üçgen
Kenarlar ve Köşeler	3
Schläfli sembolü	{3} (eşkenar için)
Alan	farklı yöntemlerle; aşağı bkz.
İç açı (derece)	60° (eşkenar için)
Çevre	Üç kenar uzunluğunun toplamı

Geometri
Bir düzleme, bir kürenin yansıtılması
Ana hatları Tarihi
Dalları Öklidsel Öklid dışı Eliptik Küresel Hiperbolik Tasarı Sentetik Analitik Cebirsel Aritmetik Diyofant Diferansiyel Riemannian Semplektik Ayrık diferansiyel Karmaşık Sonlu Ayrık/Kombinatoryal Dijital Konveks Hesaplamalı Fraktal
Kavramlar Özellikler Boyut Pergel ve çizgilik çizimleri Açı Eğri Köşegen Ortogonalite (Dik) Paralel Köşenokta Eşleşik Benzerlik Simetri
Sıfır boyutlu Nokta
Bir boyutlu Doğru parçası ışın Uzunluk
İki boyutlu Düzlem Alan Çokgen Üçgen Yükseklik Hipotenüs Pisagor teoremi Paralelkenar Kare Dikdörtgen Eşkenar dörtgen Romboid Dörtgen Yamuk Deltoid (geometri) Çember Çap Çevre Alan
Üç boyutlu Hacim Küp Küboid Silindir Piramit Küre
Dört ve üzeri boyutlu Tesseract Hiperküre
Geometriciler
İsme göre Aida Aryabhata Ahmes Apollonius Arşimet Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euler Gauss Gromov Hayyám Hilbert İbn-i Heysem el-İşbîlî Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Öklid Pascal Pisagor Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Siczi el-Tusi Veblen Virasena Yang Hui Zhang Geometricilerin listesi
Döneme göre Milattan önce Ahmes Baudhayana Manava Pisagor Öklid Arşimet Apollonius MS 1–1400'lar Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena İbn-i Heysem Siczi Hayyám el-İşbîlî el-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400'lar–1700'ler Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700'ler–1900'lar Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Günümüz Atiyah Gromov
g t d

Bir üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir. Üçgene müselles ve üçbucak da denir.

Düzlem geometrisinin temel şekillerinden biridir. Bir üçgenin üç köşesi ve bu köşeleri birleştiren doğru parçalarından oluşan üç kenarı vardır. Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°, dış açılarının toplamı 360°'dir.

${\displaystyle [AB]U[AC]U[BC]=ABC\!\,}$

Burada;

A, B ve C noktaları üçgenin köşeleri ve ${\displaystyle [AB],[AC],[BC]\!\,}$ doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır. ${\displaystyle \alpha \!\,}$, ${\displaystyle \beta \!\,}$ ve ${\displaystyle \gamma \!\,}$ üçgenin iç açılarıdır.

Matematiksel tanım

Yukarıda anlatılan biçimiyle (Öklit düzleminde) üçgen, Riemann geometrisinde daha genel bir nesnenin özel bir durumudur. X bir Riemann uzayı ve A, B ve C de bu uzayın birbirine doğrusal olmayan üç noktası olsun. Bu üç noktanın her bir çifti arasında birer kesel (jeodezik) seçilsin. Bu üç keselin birleşimine ABC üçgeni denir. Örneğin bir Riemann yüzeyi olarak Dünya yüzeyinde, kuzey kutbundan 0 meridyeniyle ekvatora, ekvator boyunca 90. doğu meridyenine, bu meridyen boyunca geri kuzey kutbuna çıkan eğri bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin iç açılarının toplamı 270°'dir.

Daha genel olarak, bir topolojik uzayda verilen herhangi üç noktayı birleştiren herhangi üç eğrinin birleşimine üçgen denir. İki boyutlu bir çokkatlı bu tür üçgenlerin (belli özellikleri sağlayan) birleşimi olarak ifade edildiğinde, bu üçgenler topluluğuna çokkatlının üçgenlenmesi denir.

Aşağıdaki özellikler, Öklit düzlemindeki üçgenlere aittir.

Üçgenin açıları

• 
  α, β ve γ üçgenin iç açıları, α', β' ve γ' ise üçgenin dış açılarıdır.
• 
  BAC, ABC ve ACB üçgenin iç açılarıdır. ${\displaystyle |BC|=a\!\,}$, ${\displaystyle |AB|=c\!\,}$ ve ${\displaystyle |AC|=b\!\,}$ ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{0}\!\,}$

• Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

Bir ABC üçgenine A tepe noktasından teğet geçecek şekilde ve BC'ye paralel olacak şekilde bir doğru çizildiğinde, BC doğru parçasının açıları, iç ters açılar kuralından dolayı tepe açısının yanına gelerek bir doğru parçasının yarısını kaplarlar.

• Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Bir ABD üçgenine D tepe noktasından teğet geçecek ve taban olan BC'ye paralel olacak şekilde bir doğru çizilip kenarlar uzatıldığında yöndeş açılar kuralı yardımıyla bu önerme kanıtlanabilir.

Üçgenlerin türleri

Üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların (köşe, kenar, açılar vb.) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir. Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse düzlemsel, diğer durumlarda da örneğin küresel ya da Hiperbolik üçgen terimleri kullanılır.

Kenarlarına göre üçgenler

• 
  Eşkenar Üçgen
• 
  İkizkenar Üçgen
• 
  Çeşitkenar Üçgen

Eşkenar üçgen

Tüm kenarları eşit olan üçgen olup iç açılarının her biri 60°'dir. Tabanlara indirilen dikmeler hem açıortay, hem de kenarortaydır.

İkizkenar üçgen

İki kenarı eşit olan üçgenlerdir. Ayrıca iki açısı birbirine eşittir. Eşit olmayan kenara indirilen dikme hem açıortay, hem kenarortay özelliği gösterir.

Çeşitkenar üçgen

Her kenarının uzunluğu ve açısı farklıdır. Çeşitkenar üçgenin simetrisi yoktur.

Açılarına Göre Üçgenler

Dar açılı üçgen

Açıları 90 dereceden küçük olan üçgenlere dar açılı üçgen denir.

Dik açılı üçgen

Bir açısı dik (yani 90°) olan üçgenlerdir. Bu üçgenlerde yükseklik dik kenarlardan biridir. En uzun kenarına hipotenüs denir.

Geniş açılı üçgen

Açılarından biri 90°den büyük olan üçgenlerdir. Sadece bir tek açısı geniş açı olabilir. Tabana ait yükseklik tabanın uzantısı ile kesişir.

Üçgen bağıntıları

Pisagor Bağıntısı

Bir dik üçgenin dik kenarlarına 'a' ve 'b' dersek hipotenüs'ün karesi bu kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Buna Pisagor Teoremi denir. Yani:

${\displaystyle \ a^{2}+b^{2}=c^{2}\!\,}$.

Alan hesaplamaları

Kenardan yararlanma

Bir üçgenin alanı, taban ve tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır:

${\displaystyle {\frac {b.h}{2}}=A(ABC)}$

Açıdan yararlanma

Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenarı ile aralarında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısıdır.
${\displaystyle A(ABC)={\frac {a.b.sin\gamma }{2}}}$

Heron Yöntemi

Çevre uzunluğuna '2u', yarısına 'u' dersek alan:

${\displaystyle A(ABC)={\sqrt {u(u-a)(u-b)(u-c)}}}$

Kosinüs Teoremi

Herhangi bir üçgende a, b, c kenarlarını alalım. a ve b arasında kalan açı da ${\displaystyle \alpha }$ olsun. c kenarını bulmak için kullanılacak formül:

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab.cos\alpha }}}$

Öklit Bağıntısı

Bir dik üçgende hipotenüse "a" diğer iki kenara "b" ve "c", hipotenüs uzunluğunun yüksekliğine "h", bu yüksekliğin ikiye böldüğü "c" kenarıyla ortak köşeye sahip olan parçaya "p", "b" kenarıyla ortak köşeye sahip olan parçaya "k" dersek,

${\displaystyle h^{2}=k.p}$

${\displaystyle b^{2}=k(p+k)}$

${\displaystyle c^{2}=p(p+k)}$

${\displaystyle a.h=b.c}$

Üçgende yardımcı elemanlar

Açıortay

Bir açıyı iki eş açıya bölen doğru veya doğru parçasına açıortay denir. Açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin içteğet çemberinin merkezidir..

${\displaystyle {\frac {|AC|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|DB|}}}$

Açıortay uzunluğu

${\displaystyle |AD|={\sqrt {|AC||AB|-|BD||DC|}}}$

Kenarortay

Bir üçgende bir köşeden karşısındaki kenara uzatılan doğru bu kenarı iki eş parçaya bölüyorsa buna kenarortay denir.Bir üçgende kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir. G harfi ile gösterilir.

Ağırlık merkezi, bir kenarortayı ${\displaystyle 2n}$ ve ${\displaystyle n}$ olarak böler. Yani köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek;
${\displaystyle |AG|=2|GD|\!\,}$ olur.

Kenarortay teoremi

${\displaystyle 2V_{a}^{2}=b^{2}+c^{2}-{\frac {a^{2}}{2}}}$

Üçgenlerle ilgili teoremler

Ceva Teoremi

Ceva teoremi, üçgenin köşelerinden karşıdaki kenarın herhangi bir noktasına çizilen doğrulardan oluşan şekilde uygulanan bir teoremdir. Uygulaması şu şekildedir:

${\displaystyle {\frac {|CE|}{|EA|}}.{\frac {|AF|}{|FB|}}.{\frac {|BD|}{|DC|}}=1}$

Menelaus Teoremi

Üçgenle aynı düzlemde olan ve üçgenin köşelerinden geçmeyen herhangi bir doğrunun, üçgenin bir kenarının uzantısıyla kesişim noktalarının üçgenin köşelerine uzaklıkları arasındaki ilişkiyi anlatan teoremdir. Uygulaması:

${\displaystyle {\frac {|FB|}{|FA|}}.{\frac {|AE|}{|EC|}}.{\frac {|CD|}{|DB|}}=1}$

Steward Teoremi

Steward Teoremi, bir üçgende, bir köşeden karşı kenara çizilen herhangi bir doğru ile kenarlar arasındaki bir bağıntıdır. Bağıntı aşağıdaki gibidir:

${\displaystyle |AD|^{2}={\frac {c^{2}.n+b^{2}m}{m+n}}-m.n}$

Carnot Teoremi

Bir üçgenin iç bölgesinden alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerle kenarlar sırasıyla a, b (ilk kenar) x, y (ikinci kenar) m, n (üçüncü kenar) olmak üzere parçalara ayrılsın. Benzerlik bağıntılarını kurduğumuzda:

${\displaystyle a^{2}+x^{2}+m^{2}=b^{2}+y^{2}+n^{2}\!\,}$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel şekillerin listesi

Dış bağlantılar

• Üçgeni yeni öğrenenler için Milli Eğitim Bakanlığı'nın sayfası