Beskonačnost

Za ostale upotrebe, v. Beskonačno (razvrstavanje).

Beskonačnost (simbol: ${\displaystyle \infty }$) je bitan pojam u matematici, filozofiji i teologiji. Ovaj pojam nije iskustven, jer ga nije moguće videti, opipati ili na bilo koji čulni način spoznati; on se obrađuje isključivo misaonim metodama.

U filozofiji, beskonačno je ono što je neoganičeno, što ide izvan bilo koje utvrđene granice.^[1] U filozofiji, beskonačno je ono što je bez početka i svršetka, čemu se ne mogu odrediti granice, niti se može umski do kraja shvatiti. U teologiji, beskonačnost je temeljna oznaka vrhovnog bića (boga), za razliku od stvorenih bića koja su nužno konačna i ograničena.

Beskonačnost je jedan od „težih“ pojmova filozofije, ali u matematici pojam nije tako spekulativan.^[2] Nešto što je beskonačno mora biti u relaciji poretka, ne sme biti konačno i ne sme biti kontradiktorno. U matematici, beskonačno se tretira kao broj (tj. njime se broje ili mere stvari: „beskonačan broj pojmova”) ali to nije ista vrsta broja kao prirodni ili realni broj. U matematici je to količina koja nije konačna.

U matematici danas postoje dve vrste beskonačnosti: potencijalna i aktuelna. Potencijalnu beskonačnost su uveli u matematiku Njutn i Lajbnic kada su otkrili infinitezimalni račun, a aktuelnu Kantor i Dedekind sa otkrićem teorije skupova.

Kada se govori o beskonačnosti vremena, upotrebljava se izraz večnost.^[3]

Razvoj

Antika

Još u drevnoj Indiji je razrađen pojam beskonačnosti. Đainska matematika poznaje 5 različitih vrsta beskonačnosti: beskonačno u jednom pravcu, beskonačno u dva pravca, beskonačno u površi, beskonačno svuda i ponavljajuće beskonačno.^[4] S druge strane, Buda je tvrdio da je pitanje o konačnosti ili beskonačnosti sveta nemislivo, i ne vodi oslobođenju od patnje.

Istraživanje beskonačnosti u staroj Grčkoj ide unazad barem do Zenona iz Eleje, a matematički pristup počinje sa Eudoksom iz Knida (4. vek p. n. e.). Aristotel je prvi uveo razlikovanje potencijalno i aktuelno beskonačnog. U Fizici on definiše beskonačno na sledeći način: "Količina je beskonačna ako je takva da uvek možemo uzeti deo pored onog što smo već uzeli."^[5] Prema Aristotelu, beskonačno je uvek potencijal, nikada aktualnost, a sastoji se u procesu postajanja, kao vreme i broj ponavljanja.^[5] Aristotel je takođe promišljao pojam kontinuuma koji se, po njemu, ne sastoji od nedeljivih elemenata, već od delova koji su beskonačno deljivi.^[5]

Srednji vek

Srednjovekovni filozof Toma Akvinski je smatrao da samo "matematičko telo" može biti beskrajno deljivo. U fizičkom kontinuumu dolazimo do minimalne količine materije neophodne da podrži dati oblik.^[5]

Duns Skot zaključuje da je pojam o apsolutno beskonačnom biću najjednostavniji i najsavršeniji pojam boga koji možemo stvoriti. To je najsavršeniji pojam, jer beskonačno biće uključuje beskonačnu istinu, beskonačnu dobrotu i svako drugo savršenstvo kompatibilno s beskonačnošću.^[6]

Novi vek

Galileo je primetio paradoks beskonačnosti 1638. godine. Po njemu, izgleda da kvadrata (0, 1, 4, 9, 16....) ima jednako koliko i prirodnih brojeva, koji uključuju i kvadrate. Kako je to moguće? Zato što ih je moguće staviti u odnos jedan na jedan. Svaki prirodan broj ima svoj kvadrat, i svaki kvadrat ima određen prirodan broj kao svoj koren. Dakle, svaki član jednog niza ima jedinstvenog parnjaka u drugom nizu, i obratno.^[7] Ovo je naizgled paradoks, jer se protivi intuiciji vezanoj za konačne brojeve, ali nema kontradikcije, što je kasnije pokazao Kantor.^[7]

Prema Spinozi, apsolutno beskrajna supstancija je nedeljiva. Jer, kad bi bila deljiva, onda ili bi delovi zadržavali prirodu beskrajne supstance, ili ne bi. Ako bi, onda bi se dobilo više supstancija iste prirode, što je besmisleno. Ako ne bi, apsolutno beskrajna supstanca bi prestala postojati, što je takođe besmisleno.^[8]

Leibniz je zastupao ideju da je univerzum sačinjen od bezbroj nedeljivih, nematerijalnih monada, od kojih je najviša bog.^[5]

David Hume je dokazivao da je sposobnost uma ograničena i da je nemoguće postići potpuno i adekvatno poimanje beskonačnosti. Naša predstava o nečemu nije beskonačno deljiva, već ona dostiže određeni minimum, nakon čega potpodelu više nije moguće zamisliti. Na primer, kada se govori o hiljaditom ili deset hiljaditom delu zrna peska, iako imamo jasnu predstavu tih brojeva, slika koja se obrazuje u umu ne razlikuje se nimalo od jednog zrna peska. Dakle, predstava zrna peska nije razdeljiva.^[9]

U filozofiji prostora i vremena problemi se pojavljuju sa beskrajno malom i sa beskrajno velikom ili neograničenom prirodom. Kant je u antinomijama tvrdio da je nemoguće konzistentno posmatranje prostora ili vremena kao konačnog ili beskonačnog, a to je ključni element u njegovoj idealističkoj teoriji vremena i prostora kao nametnutih nepoznatoj prirodi od strane naših formi čulnosti.^[1]

Pri imenu beskonačnoga duši i duhu puca pred očima, jer duh u njemu nije samo apstraktno pri sebi, već se uzdiže do sebe sama, do svetlosti svoga mišljenja, svoje opštosti, svoje slobode.^[10]

– Hegel

Prema Hegelu, besmislena je tvrdnja da je um nesposoban da sazna beskonačno. Pošto ono beskonačno jeste ono umno, "zaista je čudnovat rezultat reći da je um nesposoban da sazna ono što je umno".^[11] Ono što je beskonačno može se u jednostavnom pojmu smatrati novom definicijom onoga što je apsolutno. Beskonačno jeste negacija negacije, ono što je afirmativno, biće koje se iz ograničenosti ponovo uspostavilo. Beskonačno jeste istinsko biće, uzdizanje iz ograničenosti.^[10] Ako se konačno uzdiže u beskonačnost, nije to neka tuđa sila koja mu to nameće, već njegova priroda. Konačno je po prirodi takvo da postaje beskonačno. Beskonačnost je njegova afirmativna odredba, to što ono zaista jeste po sebi.^[12]

Savremeni period

Krajem 19. veka, Georg Kantor je u matematiku uveo pojam kardinalnosti, za ispitivanje beskonačnih skupova. Po njemu, dva skupa koja je moguće staviti u odnos jedan-na-jedan imaju jednaku kardinalnost, odnosno isti broj članova. Po tom kriteriju, moguće je da podskup beskonačnog skupa bude iste veličine kao sam skup, što kod konačnih skupova nije moguće.^[7] U teoriji koju je on razvio, postoje beskonačni skupovi različitih veličina.^[13] Na primer, skup celih brojeva je prebrojivo beskonačan, dok je beskonačni skup realnih brojeva neprebrojiv.^[14] Kantorova teorija je izazvala veliko protivljenje matematičara, filozofa i teologa tog vremena, ali je niko nije mogao pobiti.^[7]

Bertrand Russell je smatrao da filozofi koji su poricali postojanje beskonačnih brojeva su prosto brkali termine: oni nisu razumeli razliku između konačnih i beskonačnih brojeva. Za konačne brojeve važi zakon matematičke indukcije, dok za beskonačne ne. Popularno shvatanje da se svaki broj može dostići idući od 0 uzastopnim koracima, ne važi za beskonačne brojeve.^[5]

Vidi još

• Večnost
• Rekurzija
• Beskonačna petlja
• Mandelbrotov skup
• Fraktal

Izvori

Literatura

• Maddox, Randall B. (2002). Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics. Academic Press. ISBN 978-0-12-464976-7. 
• O'Flaherty, Wendy Doniger (1986). Dreams, Illusion, and Other Realities. University of Chicago Press. str. 243. ISBN 9780226618555. Arhivirano iz originala na datum 29. 6. 2016.. 
• Toker, Leona (1989). Nabokov: The Mystery of Literary Structures. Cornell University Press. str. 159. ISBN 9780801422119. Arhivirano iz originala na datum 09. 05. 2016.. 
• Weyl, Hermann (2012). Pesic, Peter. ur. Levels of Infinity / Selected Writings on Mathematics and Philosophy. Dover. str. 17. ISBN 978-0-486-48903-2. 
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. str. 616. ISBN 978-0-691-11880-2. Arhivirano iz originala na datum 03. 06. 2016..  Extract of pp. 616 Arhivirano 1 May 2016^{[nepoklapanje datuma]} na Wayback Machine-u

Spoljašnje veze

Beskonačnost na Wikimedijinoj ostavi

• Infinite Reflections Arhivirano 2009-11-05 na Wayback Machine-u
• John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics' Arhivirano 2008-12-20 na Wayback Machine-u
• Philosophy and the infinite
• The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity