Twierdzenie Stolza (zwane też twierdzeniem Stolza-Cesàro) – twierdzenie mówiące o zbieżności pewnych ciągów rzeczywistych. Nazwane imionami matematyków Ottona Stolza i Ernesta Cesàro.
Twierdzenie
Niech
będą ciągami liczb rzeczywistych, przy czym ciąg
jest rosnący i rozbieżny do
Jeśli istnieje skończona lub nieskończona granica
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2d474db7e27269ab5671338fcf39100aee198d)
to
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20476c1670adb027690b89e7571a1fc450cc164)
Twierdzenie to nie daje się odwrócić, tzn. z istnienia granicy
nie wynika istnienie granicy
Lemat
Jeżeli
to
jest kombinacją wypukłą liczb
Dowód
![{\displaystyle {\frac {c_{1}+\ldots +c_{k}}{d_{1}+\ldots +d_{k}}}={\frac {c_{1}}{d_{1}}}\cdot {\frac {d_{1}}{d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{k}}}+{\frac {c_{2}}{d_{2}}}\cdot {\frac {d_{2}}{d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{k}}}+\ldots +{\frac {c_{k}}{d_{k}}}\cdot {\frac {d_{k}}{d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{k}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d34dc460ad0eb8227babc94da7ff02b58949260)
Teza Lematu wynika z tego, że
oraz
Dowód twierdzenia
Przypadek I
Załóżmy, że ciąg
jest zbieżny do pewnej liczby
Niech
Wówczas istnieje liczba
taka, że
![{\displaystyle g-\varepsilon <{\frac {b_{i}-b_{i-1}}{a_{i}-a_{i-1}}}<g+\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b556733ea6c5f215f30221aedcbdfe5a374a7aee)
dla
Ustalmy
Na podstawie lematu dla
i
otrzymujemy, że
![{\displaystyle {\frac {c_{N+1}+\ldots +c_{n}}{d_{N+1}+\ldots +d_{n}}}={\frac {b_{N+1}-b_{N}+b_{N+2}-b_{N+1}+\ldots +b_{n}-b_{n-1}}{a_{N+1}-a_{N}+a_{N+2}-a_{N+1}+\ldots +a_{n}-a_{n-1}}}={\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fedde62238e830458c3150089b4f2b15d553332)
jest kombinacją wypukłą liczb
dla
Zatem
![{\displaystyle g-\varepsilon <{\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}<g+\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed650db07f9d536a8d9696f87f9c8bae009a743)
Stąd, oczywiście, otrzymujemy
![{\displaystyle \left|{\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}-g\right|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ebd18a07ae562488cccdfeee8e4d33b031dafb1)
dla
Dalej mamy
![{\displaystyle {\frac {b_{n}}{a_{n}}}-g={\frac {b_{N}}{a_{n}}}+{\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}}}-g={\frac {b_{N}}{a_{n}}}+{\frac {a_{n}-a_{N}}{a_{n}}}\cdot {\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}-g={\frac {b_{N}}{a_{n}}}-{\frac {a_{N}}{a_{n}}}\cdot g+{\frac {a_{n}-a_{N}}{a_{n}}}\left({\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}-g\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9408998fcf875928697e725bed12061eb68fd507)
Zatem z faktu, że
otrzymujemy
![{\displaystyle \left|{\frac {b_{n}}{a_{n}}}-g\right|\leqslant \left|{\frac {b_{N}}{a_{n}}}\right|+\left|{\frac {a_{N}}{a_{n}}}\cdot g\right|+\left|{\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}-g\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bc20eacd60c91a08c0bbf9820b0e1534be31f0e)
Z uwagi na to, że
znajdziemy liczbę
taką, że
dla
Czyli
![{\displaystyle \left|{\frac {b_{n}}{a_{n}}}-g\right|<2\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b7115e112bd524d3956d4b70d393ff520f685b)
dla każdego
co daje tezę.
Przypadek II
Załóżmy teraz, że ciąg
ma granicę niewłaściwą. Wystarczy rozważyć przypadek, gdy
Jeśli granica jest równa
dowód przebiega analogicznie.
Zauważmy, że
implikuje
Pokażemy, że
Wówczas na mocy udowodnionego Przypadku I otrzymamy, że
To wobec założenia
oznaczać będzie, że
dla dostatecznie dużych
a w konsekwencji
Z faktu
wynika istnienie liczby
takie, że
![{\displaystyle {\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88bc8298258f677b0b1b6a728f49f83172f7424)
dla każdego
Wówczas
dla ![{\displaystyle n\geqslant N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a103376efad7a658fc9ad94735b959489b363a)
Dodając powyższe nierówności dla
otrzymujemy
![{\displaystyle b_{N+k}-b_{N-1}=b_{N+k}-b_{N+k-1}+b_{N+k-1}-b_{N+k-2}+\ldots +b_{N}-b_{N-1}>a_{N+k}-a_{N+k-1}+a_{N+k-1}-a_{N+k-2}+\ldots +a_{N}-a_{N-1}=a_{N+k}-a_{N-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f4166c00f4c877d5942c069d033f93e4d2d78a)
Stąd dla dowolnego
prawdziwa jest nierówność:
![{\displaystyle b_{N+k}>a_{N+k}-a_{N-1}+b_{N-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f7f8f5971395f4257547f413e5909bd745e09b)
Ponieważ
to
co kończy dowód.
Przykłady
Przykład 1. Używając twierdzenie Stolza łatwo pokazać następujące twierdzenie pochodzące od Cauchy’ego.
Twierdzenie Cauchy’ego o zbieżności ciągu średnich arytmetycznych. Jeśli ciąg
jest zbieżny (do granicy skończonej lub nieskończonej), to ciąg średnich arytmetycznych pierwszych
wyrazów
jest zbieżny do tej samej granicy, symbolicznie
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c442964ca2cdeec5c91a3ec5dc0f9f9670fa11)
Powyższa równość granic ma związek z sumowalnością metodą Cesàro; dokładniej jeśli szereg jest zbieżny, to jest także sumowalny metodą Cesàro i obie te wartości są równe. Pokazuje to, że sumowalność metodą Cesàro jest uogólnieniem sumowalności metodą klasyczną.
Dowód twierdzenia Cauchy’ego. Zdefiniujmy
i
Zauważmy, że
oraz
Zatem
więc na mocy twierdzenia Stolza otrzymujemy, że
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b98078a6a486d1e62add96e7ed859e383299556)
Przykład 2. Implikacja w twierdzeniu Stolza nie daje się odwrócić. Aby to pokazać, rozważmy przykład. Niech
i
dla
Wówczas
oraz
Zatem
Z drugiej strony
i ![{\displaystyle {\frac {b_{2n+1}-b_{2n}}{a_{2n+1}-a_{2n}}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb0dc247080e501925a5c54814e284fd9759638e)
To pokazuje, że ciąg
nie jest zbieżny.
Przykład 3. Ustalmy
Niech
Rozważmy ciąg:
![{\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad0336880163733951766f42fadf1cea3e1c67f)
Zauważmy, że
oraz
Aby obliczyć granicę ciągu
skorzystamy z twierdzenia Stolza. Obliczamy:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right)&={\frac {n^{k}}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}}}\\&={\frac {n^{k}}{n^{k+1}-(n^{k+1}-(k+1)n^{k}+\ldots )}}\\&={\frac {n^{k}}{(k+1)n^{k}+\ldots }}\ \ {\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\ \ {\frac {1}{k+1}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991a74b50481ed6301a94424c814c70d777e2ef6)
Wobec tego
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right)={\frac {1}{k+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c695b244cf0c5b932936ebc6cb1c4712ae5e3c58)
Zobacz też
Bibliografia
- G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 55–56. ISBN 83-01-02175-6.
Ciągi liczbowe
pojęcia definiujące | ciągi ogólne | - funkcja
- dziedzina
- liczby naturalne
- podzbiór
|
---|
ciągi liczbowe | |
---|
|
---|
typy ciągów | |
---|
przykłady ciągów liczb naturalnych | |
---|
inne przykłady ciągów liczb | |
---|
twierdzenia | |
---|
powiązane pojęcia | |
---|