Ciąg Eulera

Ciąg Eulera – ciąg liczb naturalnych zdefiniowany funkcją kwadratową:

${\displaystyle a_{n}=n^{2}-n+41.}$

Ciąg ten nazwano na cześć Leonharda Eulera.

Pierwszych 40 wyrazów tego ciągu jest liczbami pierwszymi i odkrycie tego ciągu było w czasach Eulera wyczynem – niełatwo było uzyskać tyle wartości pierwszych z rzędu bez komputera. Jednak dla ${\displaystyle n=41}$ otrzymujemy liczbę złożoną. Ogólniej, ${\displaystyle n^{2}-n+41}$ jest podzielne przez 41 dla każdego ${\displaystyle n}$ dającego z dzielenia przez 41 resztę 0 lub 1. Zatem dla takich naturalnych ${\displaystyle n}$ liczba ${\displaystyle n^{2}-n+41}$ jest zawsze złożona, z wyjątkiem ${\displaystyle n}$ równego 0 lub 1. Jasno widać to z równości:

${\displaystyle n^{2}-n+41=n\cdot (n-1)+41.}$

Podobnie, 43 jest dzielnikiem ${\displaystyle a_{n}}$ dla każdego ${\displaystyle n}$ dającego resztę 42 (czyli −1) z dzielenia przez 43 itd.

Pewne wyrazy złożone ${\displaystyle a_{n}}$

Niech ${\displaystyle C:=d^{2}+41.}$ Wtedy, dla ${\displaystyle d}$ całkowitego:

${\displaystyle a_{C}=C^{2}-d^{2}=(C-d)\cdot (C+d),}$

gdzie ${\displaystyle \min(C-d,C+d)\geqslant C-|d|\geqslant C-d^{2}\geqslant 41,}$ więc oba czynniki rozłożenia są ${\displaystyle >1.}$ Otrzymaliśmy więc rozkład właściwy, pokazujący, że ${\displaystyle a_{C}}$ jest liczbą złożoną. Co więcej, dla każdego rozkładu

${\displaystyle n=x\cdot y}$

dostajemy dwie nieskończone serie – jedną dla ${\displaystyle x,}$ drugą dla ${\displaystyle y}$ (ale wypiszemy ją tylko dla ${\displaystyle x}$):

${\displaystyle a_{n+k\cdot x}=(n^{2}-n+41)+(2\cdot n+k\cdot x-1)\cdot k\cdot x,}$

czyli

${\displaystyle a_{n+k\cdot x}=(1+(2\cdot n+k\cdot x-1)\cdot k)\cdot x.}$

Biorąc pod uwagę oba parametry ${\displaystyle d}$ i ${\displaystyle k,}$ otrzymujemy ${\displaystyle 2}$-parametrową rodzinę rozkładów.

Przykład

Niech na przykład ${\displaystyle d:=4.}$ Wtedy ${\displaystyle C=57,}$ więc:

${\displaystyle a_{C}=a_{57}=53\cdot 61}$