Rozkład prawdopodobieństwa

Rozkład prawdopodobieństwa – miara probabilistyczna określona na zbiorze wartości pewnej zmiennej losowej (wektora losowego), przypisująca prawdopodobieństwa wartościom tej zmiennej^[1]. Formalnie rozkład prawdopodobieństwa można rozpatrywać bez odwołania się do zmiennych losowych.

Definicja formalna

Rozkład prawdopodobieństwa – to miara probabilistyczna ${\displaystyle P}$ określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni polskiej ${\displaystyle Y.}$ Dla rozkładów ciągłych jako przestrzeń polską wybiera się:

• zbiór liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (dla 1-wymiarowej zmiennej losowej),
• przestrzeń euklidesowa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (dla n-wymiarowej zmiennej losowej).

Rozkład prawdopodobieństwa nazywamy jednowymiarowym, jeżeli zmienna losowa jest 1-wymiarowa, a wielowymiarowym, jeżeli zmienna losowa jest n-wymiarowa.

Zastosowanie zmiennych losowych

Przestrzenią probabilistyczną nazywa się trójkę uporządkowaną, złożoną z: a) przestrzeni zdarzeń elementarnych ${\displaystyle \Omega ,}$ b) określonego na niej σ-ciała ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ którego elementy są nazywane zdarzeniami losowymi, c) miary probabilistycznej ${\displaystyle P,}$ przyporządkowującej zdarzeniom liczby zwane prawdopodobieństwami.

Tak określone prawdopodobieństwo jest jednak niewygodne do badania, gdy ${\displaystyle \Omega }$ jest zbiorem bez zadanych jakichkolwiek relacji między jego elementami. Dlatego definiuje się funkcję zwaną zmienną losową, która przyporządkowuje elementom przestrzeni ${\displaystyle \Omega }$ elementy jakiejś przestrzeni mierzalnej ${\displaystyle Y}$ o pożądanych właściwościach^[a]. Najczęściej jako przestrzeń mierzalną wykorzystuje się przestrzeń euklidesową, tj. ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{n},n\in \mathbb {N} _{+}.}$ Wtedy zmienną losową nazywa się wektorem losowym.

Przeciwobraz każdego zbioru mierzalnego w ${\displaystyle Y}$ jest zdarzeniem losowym. Podzbiory mierzalne przestrzeni ${\displaystyle Y}$ tworzą σ-ciało, które oznaczać będziemy symbolem ${\displaystyle {\mathcal {B}}(Y).}$ Ponieważ zmienna losowa nie musi być funkcją różnowartościową, więc ten sam zbiór mierzalny ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(Y)}$ można w ogólnym przypadku otrzymać z wielu różnych zdarzeń o różnych prawdopodobieństwach. Aksjomaty σ-ciała zapewniają, że wśród tych zdarzeń jest także ich suma i do niej jest przypisane największe prawdopodobieństwo. Suma ta jest równa przeciwobrazowi zbioru ${\displaystyle A,}$ czyli ${\displaystyle X^{-1}(A).}$

Rozkład zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ – to funkcja ${\displaystyle P_{X}}$ określona na sigma ciele ${\displaystyle {\mathcal {B}}(Y)}$ taka że prawdopodobieństwo zdarzenia ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(Y)}$ jest równe prawdopodobieństwu przypisanemu przeciwobrazowi ${\displaystyle X^{-1}(A)}$ zdarzenia ${\displaystyle A{:}}$

${\displaystyle P_{X}(A)=P(X^{-1}(A)).}$

Rozkład ${\displaystyle P_{X}}$ jest nową miarą probabilistyczną. Jest on w przestrzeni stanów ${\displaystyle Y}$ odpowiednikiem miary probabilistycznej ${\displaystyle P.}$

Uwaga 1:

Zapis ${\displaystyle P_{X}}$ gdzie ${\displaystyle X}$ jest zdarzeniem, a nie zmienną losową jest stosowany na oznaczenie prawdopodobieństwa warunkowego.

Uwaga 2:

Niżej omówiono rozkłady ciągłe i dyskretne. Oprócz nich istnieją także rozkłady nie mieszczące się w żadnej z tych kategorii – na przykład rozkład o dystrybuancie Cantora.

Rozkład ciągły

 Osobne artykuły: ciągły rozkład prawdopodobieństwa i funkcja gęstości prawdopodobieństwa.

Jeżeli istnieje funkcja ${\displaystyle f\colon Y\to [0,\infty ),}$ taka że

${\displaystyle P(A)=\int \limits _{A}~f(x)dx}$

(całka Lebesgue’a) dla dowolnego zbioru borelowskiego ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(Y),}$ to funkcję tę nazywa się gęstością rozkładu prawdopodobieństwa (funkcją gęstości prawdopodobieństwa).

Nazwa pochodzi od intuicji fizycznych (zob. gęstość masy). O rozkładzie ${\displaystyle P}$ mającym gęstość mówi się, że jest ciągły (lub typu ciągłego).

Powyższa definicja jest poprawna dla dowolnych rozkładów prawdopodobieństwa, także wielowymiarowych – wówczas ${\displaystyle x}$ jest wektorem.

Rozkład ${\displaystyle P_{X}}$ zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ spełniający powyższe warunki definiuje się analogicznie. O zmiennej losowej również mówi się wówczas, iż jest ciągła (lub typu ciągłego).

Rozkład dyskretny

 Osobne artykuły: dyskretny rozkład prawdopodobieństwa i funkcja masy prawdopodobieństwa.

Rozkład ${\displaystyle P}$ nazywa się dyskretnym, jeśli jest skupiony na zbiorze przeliczalnym, tzn. istnieje zbiór (co najwyżej) przeliczalny ${\displaystyle S\subseteq Y}$ dla którego ${\displaystyle P(S)=1.}$ Jeżeli

${\displaystyle S=\{s_{i}\colon i\in I\}}$ oraz ${\displaystyle p_{i}=P(\{s_{i}\})}$ dla każdego ${\displaystyle i\in I,}$

to dla dowolnego zbioru borelowskiego ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P(A)=P(A\cap S)=\sum _{i\in I}~p_{i}{\boldsymbol {1}}_{A}(s_{i}),}$

gdzie ${\displaystyle {\boldsymbol {1}}_{A}}$ to indykator (funkcja charakterystyczna) zbioru ${\displaystyle A.}$

Zatem zbiór par ${\displaystyle \{(s_{i},p_{i})\colon i\in I\}}$ jednoznacznie wyznacza rozkład ${\displaystyle P.}$ Stąd dowolny zbiór tej postaci, gdzie ${\displaystyle p_{i}>0}$ oraz ${\displaystyle \sum p_{i}=1}$ (co wynika z własności rozkładu), nazywa się czasami rozkładem (dyskretnym). Odwzorowanie ${\displaystyle s_{i}\mapsto p_{i},}$ oznaczane ${\displaystyle \operatorname {pmf} (s_{i})=p_{i},}$ nosi nazwę funkcji masy prawdopodobieństwa i jest ono dyskretnym odpowiednikiem gęstości prawdopodobieństwa.

Dyskretna zmienna losowa ${\displaystyle X}$ to zmienna losowa o rozkładzie dyskretnym. Wówczas można go zdefiniować podobnie jak wyżej równością

${\displaystyle P_{X}(\{x_{i}\})=P(X^{-1}(A)),}$

jednakże w tym wypadku zachodzi dodatkowo

${\displaystyle P(X^{-1}(A))=P(\{\omega \in \Omega \colon X(\omega )=x_{i}\}){\overset {\underset {\mathrm {ozn} }{\ }}{=}}P(X=x_{i}){\overset {\underset {\mathrm {ozn} }{\ }}{=}}\operatorname {pmf} _{X}(x_{i}),}$

gdzie ${\displaystyle \left\{x_{i}\right\}_{i\in I}}$ jest zbiorem wszystkich wartości przyjmowanych przez zmienną ${\displaystyle X.}$

Dystrybuanta rozkładu jednowymiarowego

 Osobny artykuł: dystrybuanta.

Dystrybuantą jednowymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa ${\displaystyle P}$ nazywa się funkcję ${\displaystyle F_{P}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ zdefiniowana wzorem:

${\displaystyle F_{P}(t)=P((-\infty ,t]).}$

Dystrybuanta rozkładu zmiennej losowej ${\displaystyle X,}$ to dystrybuanta ${\displaystyle F_{P_{X}},}$ oznaczana zwykle symbolem ${\displaystyle F_{X},}$ otrzymana z rozkładu tej zmiennej losowej:

${\displaystyle F_{X}(t)=P_{X}(\{x\colon x\leqslant t\})}$

Jeśli rozkład ${\displaystyle P}$ ma gęstość ${\displaystyle f,}$ jego dystrubuanta ${\displaystyle F_{P}}$ wyraża się wzorem:

${\displaystyle F_{P}(t)=\int \limits _{-\infty }^{t}~f(x)dx.}$

Dystrybuanta w pełni wyznacza rozkład, tzn. dwie zmienne o tej samej dystrybuancie muszą mieć ten sam rozkład; obrazuje to poniższy przykład.

Przykłady

1) Niech ${\displaystyle \Omega _{1}=\{\mathrm {O} ,\mathrm {R} \}}$ będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych doświadczenia polegającego na rzucie monetą, które może z jednakowym prawdopodobieństwem dać dwa wyniki: orła i reszkę, tj.

${\displaystyle P(\mathrm {O} )={\tfrac {1}{2}}}$ oraz ${\displaystyle P(\mathrm {R} )={\tfrac {1}{2}}.}$

Jeżeli zmienna ${\displaystyle X\colon \Omega _{1}\to \mathbb {R} }$ jest określona równościami

${\displaystyle X(\mathrm {O} )=-1}$ oraz ${\displaystyle X(\mathrm {R} )=1,}$

to jej rozkład ${\displaystyle P_{X}}$ jest określony następująco:

${\displaystyle P(X\in A)={\begin{cases}0,&{\mbox{dla }}A=\mathbb {R} \setminus \{-1,1\},\\{\tfrac {1}{2}},&{\mbox{dla }}A=\{-1\}{\mbox{ lub }}A=\{1\},\\1,&{\mbox{dla }}A=\{-1,1\},\end{cases}}}$

a funkcja masy prawdopodobieństwa ma postać:

${\displaystyle P(X=x)={\begin{cases}0,&{\mbox{dla }}x\neq -1\ {\mbox{ i }}\ \ x\neq 1,\\{\tfrac {1}{2}},&{\mbox{dla }}x=-1{\mbox{ lub }}x=1.\end{cases}}}$

Oznacza to, że zmienna losowa ${\displaystyle X}$ odwzorowuje zdarzenia

${\displaystyle \Omega _{1}\ni \mathrm {O} \mapsto -1\in \mathbb {R} \iff X(\mathrm {O} )=-1,}$

${\displaystyle \Omega _{1}\ni \mathrm {R} \mapsto \,\ \ 1\in \mathbb {R} \iff X(\mathrm {R} )=\,\ \ 1}$

oraz zachowuje prawdopodobieństwo określone na ${\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}})}$ przekształcając je w rozkład określony na ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )).}$

Z definicji dystrybuanty wynika, iż prawdopodobieństwo zdarzenia

${\displaystyle A=\{\omega \in \Omega \colon a<X(\omega )\leqslant b\}{\overset {\underset {\mathrm {ozn} }{\ }}{=}}\{a<X\leqslant b\}}$

dane jest wzorem

${\displaystyle P(X\in A)=P(a<X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a).}$

Dystrybuanta zmiennej ${\displaystyle X}$ to funkcja ${\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]}$ określona wzorem

${\displaystyle F_{X}(t)={\begin{cases}0,&{\mbox{dla }}t\leqslant -1,\\{\tfrac {1}{2}},&{\mbox{dla }}-1<t\leqslant 1,\\1,&{\mbox{dla }}t>1.\end{cases}}}$

2) Niech ${\displaystyle \Omega _{2}=\{\mathrm {O} ,\mathrm {R} ,\mathrm {K} \}}$ będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych rzutu monetą, wyżej opisanego, przy czym dodatkowo uwzględnimy upadek na kant, który prawie na pewno się nie zdarzy. Jeżeli

${\displaystyle P(\mathrm {O} )=P(\mathrm {R} )={\tfrac {1}{2}}}$ oraz ${\displaystyle P(\mathrm {K} )=0,}$

to zmienna losowa ${\displaystyle Y\colon \Omega _{2}\to \mathbb {R} }$ określona równościami

${\displaystyle Y(\mathrm {O} )=-1,Y(\mathrm {R} )=1}$ oraz ${\displaystyle Y(\mathrm {K} )=7,}$

ma taki sam rozkład ${\displaystyle P_{Y}}$ (oraz funkcję masy) co zmienna ${\displaystyle X}$ określona wyżej, mimo iż są one różne.

Także dystrybuanta ${\displaystyle F_{Y}}$ zmiennej ${\displaystyle Y}$ dana jest tym samym wzorem co dystrybuanta ${\displaystyle F_{X}}$ zmiennej ${\displaystyle X.}$

Dystrybuanta rozkładu wielowymiarowego

 Osobny artykuł: dystrybuanta.

Jeśli ${\displaystyle X}$ jest wektorem losowym, tzn. ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n},}$ to rozważa się wówczas przedziały wielowymiarowe, tzn. zbiory będące iloczynami kartezjańskimi przedziałów, mające postać

${\displaystyle (-\infty ,t_{1}]\times (-\infty ,t_{2}]\times \ldots \times (-\infty ,t_{n}].}$

Dystrybuanta ${\displaystyle F_{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ma postać

${\displaystyle F_{P}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})=P((-\infty ,t_{1}]\times (-\infty ,t_{2}]\times \ldots \times (-\infty ,t_{n}]).}$

Stosuje się następujący zapis dystrybuanty rozkładu zmiennej losowej:

${\displaystyle F_{X}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})=P(\{X\colon X_{1}\leqslant t_{1}\wedge X_{2}\leqslant t_{2}\wedge \ldots \wedge X_{n}\leqslant t_{n}\}),}$

gdzie ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}).}$

Oznaczając ${\displaystyle t=(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})}$ powyższy wzór można zapisać w skrócie

${\displaystyle F_{X}(t)=P(X\leqslant t).}$

Jeśli rozkład wielowymiarowy ${\displaystyle P}$ ma gęstość ${\displaystyle f,}$ jego dystrybuanta ${\displaystyle F_{P}}$ wyraża się za pomocą całki Lebesgue’a:

${\displaystyle F_{P}(t)\qquad \,=\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int \limits _{(-\infty ,t_{1}]\times (-\infty ,t_{2}]\times \ldots \times (-\infty ,t_{n}]}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(t)dt,}$

co można zapisać w prostszej wersji (ale tylko wtedy, gdy całkę Lebesgue’a da się rozbić w poniższy sposób):

${\displaystyle F_{P}(t)=\int \limits _{-\infty }^{t_{1}}\int \limits _{-\infty }^{t_{2}}\ldots \int \limits _{-\infty }^{t_{n}}f(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})dt_{n}\ldots dt_{2}dt_{1}.}$

Rozkład osobliwy

Df. Zmienna losowa ${\displaystyle X}$ ma rozkład osobliwy (singularny), jeśli ma ciągłą dystrybuantę oraz istnieje zbiór ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ,}$ taki że ma on zerową miarę Lebesgue’a ${\displaystyle \lambda (A)}$ i jednostkowy rozkład prawdopodobieństwa ${\displaystyle P(A),}$ tzn.

${\displaystyle \lambda (A)=0}$ oraz ${\displaystyle P(A)=1.}$

Rozkład arytmetyczny

Df. Rozkładami arytmetycznymi nazywa się rozkłady skoncentrowane na zbiorze punktów postaci ${\displaystyle kc,}$ gdzie ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

Tw. To, iż rozkład ${\displaystyle P}$ jest skupiony na zbiorze ${\displaystyle \left\{{\tfrac {2\pi k}{t}}\colon k\in \mathbb {Z} \right\}}$ jest równoważne temu, iż jego funkcja charakterystyczna ${\displaystyle \varphi }$ ma okres równy ${\displaystyle t}$ bądź ${\displaystyle \varphi (t)=1}$ dla pewnego ${\displaystyle t\neq 0.}$

Analizując funkcje charakterystyczne można stwierdzić, że arytmetyczne są rozkłady:

geometryczny, Bernoulliego i Poissona.

Rozkłady jedno- i dwupunktowe są przesuniętymi rozkładami arytmetycznymi.

Popularne rozkłady

Rozkłady ciągłe

 Osobny artykuł: ciągły rozkład prawdopodobieństwa.

• rozkład beta,
• rozkład χ²,
• rozkład Cauchy’ego,
• rozkład chi,
• rozkład Erlanga,
• rozkład F Snedecora,
• rozkład gamma,
• Rozkład Fishera-Tippetta,
• rozkład Weibulla,
• rozkład jednostajny ciągły (prostokątny),
• rozkład Laplace’a,
• rozkład Leviego,
• rozkład logarytmicznie normalny,
• rozkład normalny (Gaussa),
• wielowymiarowy rozkład normalny,
• rozkład trójkątny,
• rozkład Studenta,
• rozkład wykładniczy.

Rozkłady dyskretne

 Osobny artykuł: dyskretny rozkład prawdopodobieństwa.

• rozkład Boltzmanna,
• rozkład dwupunktowy (Bernoulliego u anglojęzycznych autorów),
• rozkład dwumianowy (Bernoulliego u większości polskich autorów),
• rozkład jednopunktowy (typu delta Diraca),
• rozkład jednostajny dyskretny,
• rozkład geometryczny,
• rozkład hipergeometryczny,
• rozkład Poissona,
• rozkład zero-jedynkowy,
• rozkład ujemny dwumianowy (Pascala).

Pozostałe

• wspólny rozkład prawdopodobieństwa

Statystyka

Jeśli mamy na myśli rzeczywiste prawdopodobieństwa wystąpienia danej wartości cechy w populacji, to mówimy o rozkładzie w populacji. Jeśli mamy na myśli prawdopodobieństwa wystąpienia danej cechy wyznaczone podczas badania statystycznego, to mówimy o rozkładzie empirycznym.

Zobacz też

Zobacz galerię związaną z tematem: Rozkład prawdopodobieństwa

• rozkład brzegowy
• rozkład warunkowy
• skośność rozkładu
• zbieżność według rozkładu

Uwagi

Przypisy