Geometria nieprzemienna

Geometria nieprzemienna, geometria niekomutatywna^[1] – dział matematyki wyższej z pogranicza geometrii różniczkowej, analizy funkcjonalnej i abstrakcyjnej algebry operatorów. Zajmuje się badaniem nieprzemiennych algebr funkcji, analogicznych do przemiennych algebr funkcji zdefiniowanych na rozmaitościach^[2]. W ten sposób konstruuje tzw. przestrzenie bezpunktowe, będące dalekim uogólnieniem rozmaitości^[3].

Geneza i rola

Jednym z pionierów geometrii nieprzemiennej był francuski matematyk Alain Connes w latach 70. XX w. Od tego czasu znaleziono interesujące związki tej dziedziny z innymi gałęziami matematyki jak probabilistyka, teoria kategorii czy parkietaż Penrose’a^[4]. Oprócz tego geometria nieprzemienna bywa stosowana w fizyce matematycznej – jako:

alternatywny formalizm mechaniki kwantowej^[5],
opis kwantowego efektu Halla,
formalizm modelu standardowego cząstek elementarnych^[6] z cząstką Higgsa^[7],
opis osobliwości czasoprzestrzennych,
podstawa przyszłych teorii kwantowej grawitacji^[7].

W tych ostatnich dwóch celach geometrię nieprzemienną badali m.in. Michał Heller i Wiesław Sasin^[3]. Dziedzinie tej poświęcono osobne seminarium Instytutu Matematycznego Polskiej Akademii Nauk (IM PAN)^[8].

Zobacz też

C*-algebra

Przypisy

↑ geometrie nieeuklidesowe, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-09] .
↑ Schreiber 2017 ↓.
↑ ^a ^b Eckstein i Miller 2016 ↓.
↑ Connes 1994 ↓, s. 7, 179.
↑ Connes 1994 ↓, s. 7.
↑ Connes 1994 ↓, s. 609.
↑ ^a ^b Sitarz 2014 ↓, s. 116.
↑ Geometria niekomutatywna, impan.pl [dostęp 2023-02-18].

Bibliografia

Alain Connes: Noncommutative geometry. 1994-06-30. [dostęp 2017-08-09].
Michał Eckstein, Tomasz Miller: Wszechświat nieprzemienny. strona „Tygodnika Powszechnego”, 2016-12-03. [dostęp 2017-08-09].
Urs Schreiber: Noncommutative geometry. ncatlab.org, 2017-03-28. [dostęp 2017-08-08].
Andrzej Sitarz: Geometria nieprzemienna. fais.uj.edu.pl, 2014-12-19. [dostęp 2017-08-09].

Linki zewnętrzne

Kanał Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych na YouTube [dostęp 2021-04-02]:
- Michał Heller, Andrzej Sitarz: Przestrzenie bezpunktowe – dyskusja. 29 października 2014.
- Tomasz Miller, Geometria nieprzemienna – język grawitacji kwantowej?, 2 kwietnia 2021.
Jerzy Lukierski, Kwantowa grawitacja i nieprzemienne czasoprzestrzenie, kanał 44. Zjazdu Fizyków Polskich na YouTube, 10 października 2017 [dostęp 2023-04-14].
Jerzy Lukierski, Grawitacja kwantowa i nieprzemienne geometrie kwantowe, „Postępy Fizyki” 2018 [dostęp 2023-07-30].

Działy geometrii

geometrie według założeń (aksjomatów)	absolutna afiniczna euklidesowa nieeuklidesowa eliptyczna hiperboliczna sferyczna
podział według wymiaru	planimetria stereometria
podział według metod	geometria syntetyczna geometria analityczna
inne	algebraiczna arytmetyczna diofantyczna dyskretna fraktalna inwersyjna kombinatoryczna konforemna metryczna nieprzemienna obliczeniowa różniczkowa symplektyczna rzutowa skończona tropikalna uporządkowania wykreślna zespolona trygonometria sferyczna
powiązane dyscypliny	analiza geometryczna geometryczna teoria liczb geometryczna teoria grafów topologia geometryczna

Działy matematyki

działy
ogólne

według trudności	matematyka elementarna matematyka wyższa
według celu	matematyka czysta matematyka stosowana
inne	matematyka doświadczalna matematyka parakonsystentna supermatematyka

działy
czyste

algebra	elementarna liniowa i wieloliniowa abstrakcyjna algebra przemienna algebra lokalna teoria Galois różniczkowa teoria Galois teoria grup geometryczna teoria grup teoria Liego homologiczna różniczkowa uniwersalna teoria reprezentacji
analiza matematyczna	analiza algebraiczna analiza funkcjonalna teoria spektralna analiza geometryczna analiza globalna analiza harmoniczna analiza mikrolokalna analiza na rozmaitościach analiza niestandardowa analiza numeryczna nomografia analiza p-adyczna analiza rzeczywista analiza wektorowa analiza wielowymiarowa analiza wypukła analiza zespolona rachunek różniczkowy i całkowy rachunek wariacyjny teoria dystrybucji teoria miary teoria potencjału
arytmetyka	elementarna teoretyczna lub wyższa, in. teoria liczb algebraiczna algorytmiczna analityczna elementarna geometryczna teoria sit
geometria	absolutna afiniczna algebraiczna analityczna arytmetyczna diofantyczna dyskretna euklidesowa planimetria stereometria fraktalna inwersyjna kombinatoryczna konforemna metryczna nieeuklidesowa eliptyczna hiperboliczna sferyczna nieprzemienna obliczeniowa różniczkowa symplektyczna rzutowa skończona syntetyczna tropikalna uporządkowania wykreślna zespolona trygonometria sferyczna
matematyka dyskretna	kombinatoryka teoria Ramseya teoria grafów algebraiczna geometryczna spektralna topologiczna
podstawy	logika matematyczna algebraiczna mereologia rachunek zdań teoria dowodu teoria modeli teoria rekursji teoria typów metamatematyka metalogika teoria kategorii teoria mnogości opisowa arytmetyka liczb kardynalnych arytmetyka liczb porządkowych teoria PCF teoria obliczeń teoria obliczalności teoria złożoności
teoria układów dynamicznych	teoria chaosu teoria katastrof teoria ergodyczna
topologia	algebraiczna teoria homotopii geometryczna mnogościowa ogólna różniczkowa teoria Morse’a teoria położenia teoria węzłów teoria warkoczy teoria wymiaru
pozostałe	K-teoria probabilistyka rachunek różnicowy teoria osobliwości teoria porządku teoria punktu stałego

działy
stosowane

nauki przyrodnicze	biomatematyka chemia matematyczna fizyka matematyczna
nauki społeczne	ekonomia matematyczna lingwistyka matematyczna matematyka finansowa matematyka ubezpieczeniowa psychologia matematyczna socjologia matematyczna teoria głosowań
nauki techniczne	kryptologia teoria informacji teoria kolejek teoria sterowania
statystyka matematyczna	rachunek wyrównawczy statystyka nieparametryczna teoria estymacji
inne	teoria gier teoria decyzji

powiązane
dyscypliny

ściśle naukowe	dydaktyka matematyki historia matematyki
inne	filozofia matematyki matematyka rekreacyjna numerologia pseudomatematyka

Teorie grawitacji

klasyczne i nierelatywistyczne	teoria Newtona teoria Le Sage’a MOND
klasyczne i relatywistyczne	ogólna teoria względności teoria Kaluzy-Kleina supergrawitacja TeVeS
relatywistyczne i kwantowe	teoria strun (M-teoria) pętlowa grawitacja kwantowa geometria nieprzemienna grawitacja entropiczna teoria twistorów