Teorema di Riemann-Dini

In matematica, il teorema di Riemann-Dini è un teorema sulle serie a valori reali semplicemente convergenti, chiamato così in onore dei matematici Bernhard Riemann e Ulisse Dini.

Il teorema afferma che se una serie è (semplicemente) convergente, ma non assolutamente convergente, allora, dato un qualsiasi numero reale, esiste una permutazione dei suoi termini che la rende convergente a tale numero; inoltre, esistono permutazioni dei termini che rendono la serie divergente a ${\displaystyle +\infty }$ e a ${\displaystyle -\infty }$.

Sia ${\displaystyle \left\{u_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$ una successione a valori reali tale che la serie associata sia semplicemente convergente:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}u_{k}{\underset {n\rightarrow +\infty }{\longrightarrow }}\ell \in \mathbb {R} ,}$

ma non assolutamente convergente,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}|u_{k}|{\underset {n\longrightarrow +\infty }{\longrightarrow }}+\infty .}$

Sia inoltre ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$. Allora esiste una permutazione

${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} }$

tale che

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}{\underset {n\rightarrow +\infty }{\longrightarrow }}\alpha .}$

Per ogni ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ si ponga

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}:=&\max\{u_{n},0\},\\b_{n}:=&\min\{0,u_{n}\}.\end{aligned}}}$

(queste serie non sono altro che le serie dei termini, rispettivamente, positivi e negativi estratti dalla serie originaria; ovviamente tutti quelli uguali a 0 possono essere rimossi).

Allora

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}{\underset {n\rightarrow +\infty }{\longrightarrow }}+\infty \quad {\text{e}}\quad \sum _{k=0}^{n}b_{k}{\underset {n\rightarrow +\infty }{\longrightarrow }}-\infty .}$

Infatti, dato che la serie ${\displaystyle \sum u_{n}}$ converge e che

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{n}&=a_{n}+b_{n}\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\\|u_{n}|&=a_{n}-b_{n}\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\end{aligned}}}$

allora le serie ${\displaystyle \sum a_{n}}$ e ${\displaystyle \sum b_{n}}$ o sono entrambe convergenti o entrambe divergenti. Ma se le due serie convergessero, allora anche ${\displaystyle \sum (a_{n}-b_{n})=\sum |u_{n}|}$ dovrebbe convergere, il che è assurdo. Inoltre, poiché per ogni ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a_{n}\geq 0}$ e ${\displaystyle b_{n}\leq 0}$, allora le due serie associate a tali successioni devono divergere rispettivamente a ${\displaystyle +\infty }$ e ${\displaystyle -\infty }$.

Per semplicità si supponga che ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$, il caso ${\displaystyle \alpha =\pm \infty }$ è analogo.

Una possibile costruzione della permutazione σ di ${\displaystyle \mathbb {N} }$ procede nel modo seguente: si sommano i termini non negativi fino ad oltrepassare il valore ${\displaystyle \alpha }$ e in seguito si aggiungano i termini strettamente negativi fino a quando la somma parziale diventa strettamente inferiore ad ${\displaystyle \alpha }$ (questo procedimento è sempre possibile grazie al lemma). Si itera quindi la procedura, sommando i termini positivi a partire da dove ci si è fermati, in seguito i termini negativi, e via discorrendo. La permutazione σ si definisce quindi come la permutazione associata all'ordinamento dei termini utilizzato in tale procedura.

Dato che la serie ${\displaystyle \sum u_{n}}$ è convergente allora per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste ${\displaystyle N_{0}\in \mathbb {N} }$ tale che

${\displaystyle |u_{n}|<\varepsilon \qquad \forall n\geq N_{0}.}$

Di conseguenza, prendendo ${\displaystyle N_{1}=1+\max\{\sigma ^{-1}(0),\sigma ^{-1}(1),\ldots ,\sigma ^{-1}(N_{0})\}}$, si ha che

${\displaystyle |u_{\sigma (n)}|<\varepsilon \qquad \forall n\geq N_{1}}$

(infatti certamente σ(n) > N₀). Sia ora ${\displaystyle N_{2}}$ il più piccolo intero maggiore di ${\displaystyle N_{1}}$ tale che ${\displaystyle u_{\sigma (N_{2})}}$ e ${\displaystyle u_{\sigma (N_{2}+1)}}$ siano di segno opposto. Per come è stata costruita la permutazione σ , si ha che

${\displaystyle \left|\alpha -\sum _{k=0}^{N_{2}}u_{\sigma (k)}\right|\leq |u_{\sigma (N_{2})}|\leq \varepsilon .}$

Si definisca ora, per ${\displaystyle n\geq 2}$, la proposizione

${\displaystyle {\mathcal {P}}(n):\left|\alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon .}$

È chiaro che ${\displaystyle {\mathcal {P}}(N_{2})}$ è verificata. Si supponga ora che sia vera per ${\displaystyle n\geq N_{2}}$. Distinguiamo a questo punto i due casi che seguono.

Primo caso

Se

${\displaystyle 0<\alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\leq \varepsilon ;}$

allora

${\displaystyle 0\leq u_{\sigma (n+1)}\leq \varepsilon }$

e dunque

${\displaystyle \left|\alpha -\sum _{k=0}^{n+1}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon .}$

Secondo caso

Se

${\displaystyle -\varepsilon \leq \alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\leq 0;}$

allora

${\displaystyle -\varepsilon \leq u_{\sigma (n+1)}<0}$

perciò

${\displaystyle \left|\alpha -\sum _{k=0}^{n+1}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon .}$

Per il principio d'induzione, risulta dimostrato che

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\ \exists N_{2}\in \mathbb {N} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,\ n\geq N_{2}\Longrightarrow \left|\alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon ;}$

e dunque la serie converge ad ${\displaystyle \alpha }$.

Si prenda in esame la serie armonica a segni alterni, denotando con ${\displaystyle \,u_{n}}$ il suo termine n-esimo,

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ u_{n}:={\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.}$

La serie ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$ converge per il criterio di Leibniz, ma non converge assolutamente in quanto la serie armonica diverge positivamente.

È noto che:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }u_{k}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots =\log(2).}$

(si veda la dimostrazione fatta nella voce serie armonica a segni alterni ).

Riordinando la successione nel modo seguente,

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\ +\ {\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\ +\ {\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots ,}$

ossia scomponendo la serie in blocchi da tre della forma:

${\displaystyle {\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{4k}}.}$

Sommando i primi due termini si ha

${\displaystyle {\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}={\frac {1}{2(2k-1)}},}$

pertanto la successione delle somme parziali può essere riscritta come:

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}\cdots }$

che raccogliendo il fattore 1/2 non è altro che

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\ldots \right)={\frac {1}{2}}\log 2,}$

ossia la metà del valore della serie armonica a segni alterni.

Nel teorema di Riemann, la permutazione usata per riarrangiare una serie semplicemente convergente per ottenere un certo ${\displaystyle \mathbf {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$ potrebbe avere un numero arbitrario di punti non fissi, cioè tutti gli indici dei termini della serie potrebbero essere permutati. Ci si potrebbe chiedere se è possibile riarrangiare solo gli indici in un insieme più piccolo in modo che la serie converga a un arbitrario numero reale o diverga a ${\displaystyle \pm \infty }$. La risposta a questa domanda è positiva: Sierpiński dimostrò che permutando solo i termini positivi e lasciando fissi quelli minori o uguali a zero è possibile ottenere una serie convergente a qualunque assegnato valore minore o uguale a quello della serie originale.^[1][2][3]

Questa domanda è stata inoltre esplorata usando il concetto di ideale: per esempio, Wilczyński provò che è sufficiente riarrangiare solo gli indici nell'ideale degli insiemi di densità asintotica zero.^[4] Filipów e Szuca dimostrarono che anche altri ideali hanno questa proprietà.^[5]

Data una serie convergente ${\displaystyle \sum a_{n}}$ di numeri complessi, parecchi casi possono accadere quando si considera l'insieme delle possibili somme per tutte le serie ${\displaystyle \sum a_{\sigma (n)}}$ ottenute permutando i suoi termini:

• la serie ${\displaystyle \sum a_{n}}$ potrebbe convergere assolutamente; allora tutte le serie riarrangiate convergono e inoltre allo stesso valore: l'insieme delle somme delle serie permutate si riduce ad un punto.
• la serie ${\displaystyle \sum a_{n}}$ potrebbe non convergere assolutamente; se ${\displaystyle S}$ denota l'insieme delle somme ${\displaystyle \sum a_{\sigma (n)}}$ che convergono, allora o ${\displaystyle S}$ è una retta ${\displaystyle L}$ nel piano complesso ${\displaystyle \mathbb {C} }$, della forma

${\displaystyle L=\{a+tb:t\in \mathbb {R} \},\quad a,b\in \mathbb {C} ,\ b\neq 0,}$

oppure è l'intero piano complesso ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Più in generale, data una serie convergente di vettori in uno spazio vettoriale ${\displaystyle E}$ su ${\displaystyle \mathbb {R} }$ di dimensione finita, l'insieme delle somme delle serie permutate convergenti è uno sottospazio affine di ${\displaystyle E}$.

Si dimostra^[6] che il teorema può essere enunciato, in modo più potente, nella seguente forma:

Sia ${\displaystyle \left\{u_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$ una successione a valori reali tale che la serie associata sia semplicemente convergente:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}u_{k}{\underset {n\rightarrow +\infty }{\longrightarrow }}\ell \in \mathbb {R} ,}$

ma non assolutamente convergente,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}|u_{k}|{\underset {n\longrightarrow +\infty }{\longrightarrow }}+\infty .}$

Siano inoltre ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ con ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$. Allora esiste una permutazione

${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} }$

tale che

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (n)}}=\alpha }$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (n)}}=\beta }$.

Data la definizione di limiti inferiore e superiore, questo enunciato si riduce al precedente nel caso si scelga α = β.

Scegliendo invece α ≠ β si ha un risultato non previsto dall'enunciato precedente, ovvero che il riarrangiamento della serie sia oscillante fra α e β.

• Serie
• Criteri di convergenza

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Riemann-Dini, su MathWorld, Wolfram Research.