Disambiguazione – Se stai cercando i criteri di convergenza dell'Unione europea, vedi Parametri di Maastricht. Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.
In analisi matematica i criteri di convergenza per le serie sono condizioni sufficienti per la determinazione del carattere della serie.
Serie a termini concordi
Primo criterio del confronto
Consideriamo due serie a termini non negativi
e
tali che
:
- se la maggiorante converge, la minorante è convergente;
- se la minorante diverge, la maggiorante è divergente.
Questo criterio viene utilizzato per dimostrare che la serie armonica generalizzata è divergente per α ≤ 1.
Dimostrazione
Data la successione di somme parziali
di
, dove
è monotona crescente:
.
Analogamente con
successione di somme parziali di
:
.
Abbiamo che:
![{\displaystyle \sum a_{n}=\sup {S_{n}}\leq \sum b_{n}=\sup {T_{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/defbed24f6be5354596044972248857586d584b3)
dove non è da escludere che gli estremi superiori possano assumere anche il valore
. Quanto affermato nel criterio ne segue immediatamente.
Secondo criterio del confronto o del confronto asintotico
Date due serie a termini positivi
e
:
- se
è convergente e
, dove
, allora
è convergente; - se
è divergente e
(anche
), allora
è divergente.
Il criterio del confronto asintotico è utile per far vedere che la serie armonica generalizzata è convergente per
.
Dimostrazione
Dato che
, per definizione di limite di successione abbiamo che:
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists n_{0}:\forall n>n_{0}\;\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-l\right|<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368481a6ba8c6ec397ea6007156c635ade1663ed)
Si scelga
, allora si ha:
![{\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-l\right|<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b67d30238f84ea5e5b33b210193cb4da086efdd8)
che si può riscrivere:
![{\displaystyle (l-1)b_{n}<a_{n}<(l+1)b_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a709f955b02de6abba77993ecf4c518edf4c09dd)
Dunque poiché
converge anche
e
convergono, di conseguenza anche
converge. Analogamente per
divergente.
Confronto con la serie geometrica: criteri derivati e stima del resto
Per applicare i criteri di confronto in modo diretto bisogna prendere in considerazione due serie, di cui una abbia un carattere noto (cioè si sappia se converge o meno), mentre l'altra abbia un carattere da valutare in base al confronto. Una delle due serie fa dunque da serie di riferimento.
Se però come serie di riferimento
fissiamo una particolare serie e confrontiamo una generica serie
con la serie fissata, allora - avendo fissato una delle serie - il criterio del confronto si riduce a delle condizioni sui termini
. Si ottengono così una serie di criteri derivati, che fanno riferimento esplicitamente ad una sola serie di cui si vuole stabilire il carattere, ma che tuttavia "sottintendono" un confronto con la serie di riferimento fissata. Quando si applicano tali criteri è importante tenere presente quale sia la serie "sottintesa", poiché ovviamente la stima del criterio derivato non potrà essere più raffinata di quella che si otterrebbe da un confronto diretto dalla serie studiata con quella di riferimento.
Una delle serie più utili come serie di riferimento per il confronto è la serie geometrica, cioè la successione delle somme parziali delle potenze di un argomento dato:
![{\displaystyle s_{N}=\sum _{n=0}^{N}k^{n}={\frac {1-k^{N+1}}{1-k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0134c40cfdae5c11e24e3084553cf7e84745ca78)
Applicando i criteri di confronto al confronto con questa serie si possono ricavare i seguenti criteri derivati:
Criterio della radice (o di Cauchy)
Consideriamo una serie a termini non negativi
per la quale esista il limite
.
Si ha che:
- il carattere della serie è convergente se
![{\displaystyle k<1;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edea46d0d5e585c91fdb9d5e6f69af558dd4fc47)
- il carattere della serie è divergente se
![{\displaystyle k>1;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f21f0041e32c88041ecaeb61f3f38cee6b20993c)
- non si può stabilire il carattere della serie se
![{\displaystyle k=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c181a31d6fdd77204b950fc7a5fc95ab03c49921)
Dimostrazione
Basta osservare che se
allora possiamo fissare un
fra
e 1 tale che per tutti gli
maggiori di un certo
abbastanza grande i termini della successione siano minori di
:
![{\displaystyle \forall n>N,\quad {\sqrt[{n}]{a}}_{n}<k'<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0efdbb7d508298e911abea39b5547df3501f4a)
Elevando per
si ottiene dunque:
![{\displaystyle \forall n>N,\quad a_{n}<k'^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee5d2834fd6c482afffb2eaf4e89359e073e61a)
Applicando allora il criterio del confronto fra la serie
e la serie geometrica
si ha che la serie converge.
Se
allora esiste
tale che per ogni
si ha
da cui
. Dato che
non tende a 0 la serie
diverge.
Esempio
Stabiliamo il carattere della serie:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{\beta }a^{n},\quad \beta \in \mathbb {R} ,\ a>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b9eeb27fca35914110017203523ccff8daa33a)
Applicando il criterio della radice abbiamo:
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{n^{\beta }a^{n}}}=n^{\beta \over n}a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e7c9249e2fb8440afc12b4379ecc4171414584)
Ma
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{\beta \over n}a=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5c36b43d09818fa8209d3646b12a766ef95466)
come si deduce facilmente passando al logaritmo:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }e^{\log n^{\beta \over n}+\log a}=\lim _{n\to \infty }e^{{\beta \over n}\log n+\log a}=e^{\log a}=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44975aeaeb3327292e0a280360710c62487b8809)
Quindi
se
la serie converge, mentre se
la serie diverge.
Per
la serie diviene la serie armonica generalizzata con
che diverge se
e converge se
.
Criterio del rapporto (o di d'Alembert)
Consideriamo una serie a termini positivi
tale che esista il limite
. Questa serie:
- converge, se
; - diverge, se
; - ha un comportamento che non può essere stabilito da questo criterio, se
.
Caso I
Se
, possiamo fissare un numero
tale che, per tutti gli
maggiori di un certo
abbastanza grande, il rapporto fra due termini successivi sia minore di
:
![{\displaystyle \forall n>N,\quad {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<k'<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b00d6756596efaadb5bbd0b09a57ecbd5c4db318)
da cui:
![{\displaystyle a_{n+1}<k'a_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730d56cb07544ccb298e108ba3c05eaf9562bed3)
Dal momento che questa relazione vale per tutti gli
maggiori di
, partendo da un generico termine
possiamo procedere a ritroso fino a
:
![{\displaystyle a_{n}<k'a_{n-1}<(k')^{2}a_{n-2}<(k')^{n-(N+1)}a_{N+1}=\left[{\frac {a_{N+1}}{(k')^{N+1}}}\right](k')^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43bb7eafe1bd95713c59008e2104a9cc6b65574)
A meno di una costante moltiplicativa (si ricordi che
è un numero), la successione
risulta minorante della successione delle potenze di
, che è convergente, essendo
. Di conseguenza, per il primo criterio del confronto, la serie degli
converge.
Caso II
Essendo
, si consideri un numero
. Esiste allora un valore
tale che
![{\displaystyle \forall n>N,\quad {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>k'>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a07086e1ee846a46340efc3110f974bb07a6a9)
ossia
![{\displaystyle a_{N+2}>k'a_{N+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29eda456047147a779271e39483d3669b0b391e8)
e analogamente
![{\displaystyle a_{N+3}>k'a_{N+2}>(k')^{2}a_{N+1}\ \ \rightarrow \ \ a_{N+3}>(k')^{2}a_{N+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9f4041934feb7514089bea0c8d7cdefb1727ed)
![{\displaystyle a_{N+4}>(k')^{3}a_{N+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3994d9ab6e6c0df3a0c7fe4a0aebfe718ddfa801)
![{\displaystyle \qquad \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df187a85775c68fcd9530ab6fdb13c0c1c554a2c)
![{\displaystyle a_{N+q}>(k')^{q-1}a_{N+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348ad2600c359e4a21f3cefaa8e94862382d0d0c)
La coda della serie degli
è maggiorante di una serie geometrica che ha ragione
e che è quindi divergente:
![{\displaystyle \sum _{n=N+2}^{+\infty }a_{n}>a_{N+1}\sum _{q=1}^{+\infty }(k')^{q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19812267bf2c5c15912f3137a85fc9401dbef8e)
Di conseguenza, utilizzando il primo criterio del confronto, anche la serie
risulta divergente.
Stima del resto
Il confronto con la serie geometrica rende particolarmente agevole la valutazione del "resto", cioè dell'errore che si commette calcolando la somma di una serie fermandosi al suo
-esimo termine:
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}+R_{N}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81be59bf39dfe8f1d19c638eb82da17849ac3cff)
Supponiamo infatti di avere una serie
tale che da un certo
in poi i termini
siano minori dei termini di una serie geometrica di argomento
tale che
a meno di una costante moltiplicativa
:
![{\displaystyle \forall n>N,\quad a_{n}<Ck^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd58371d83925869584f542c4bbb9fa604be00d5)
Allora non solo la serie
converge, ma si ha anche:
![{\displaystyle R_{N}=\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}<C\sum _{n=N+1}^{\infty }k^{n}=C{\frac {k^{N+1}}{1-k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773df07bb062e3a0431163c5f284e7a4248ad915)
Questa espressione si semplifica ulteriormente nel caso in cui il confronto della serie
con la serie geometrica venga ottenuto per mezzo del criterio del rapporto. In quel caso infatti, come si è mostrato nella Dimostrazione, esiste una certa costante
e un certo intero
abbastanza grande tale che:
![{\displaystyle \forall n>N,\quad a_{n}<\left({\frac {a_{N+1}}{k'^{N+1}}}\right)k'^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e72b889d96a985ca5186a156c6182c2a4e87c3dd)
Possiamo dunque applicare la formula per il resto precedentemente trovata, con la costante moltiplicativa
, ottenendo:
![{\displaystyle R_{N}<{\frac {a_{N+1}}{k'^{N+1}}}{\frac {k'^{N+1}}{1-k'}}={\frac {a_{N+1}}{1-k'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07444229d21d5976a0f6c056549d51d10df932db)
Dunque nei casi in cui si applica il criterio del rapporto il resto
-esimo della serie da stimare è limitato, a meno di una costante moltiplicativa, dall'
-esimo termine della serie. Questa è una relazione molto importante per gli sviluppi in serie di funzioni.
Criterio di Raabe
Consideriamo una serie
a termini positivi, per la quale esiste il limite
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left({{a_{n}} \over {a_{n+1}}}-1\right)=l.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe83a0a9743f8a474dd59b87146eab97a6e16b)
Allora:
- se
la serie converge; - se
la serie diverge; - se
il criterio non contribuisce a chiarire il suo comportamento.
Dimostrazione
Dimostriamo la divergenza.
Dato che
per definizione di limite di successioni avremo:
![{\displaystyle \exists \alpha \in N:\forall n\geq \alpha \Rightarrow n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b8978efcb8764f458dc4863940ac44775047e4)
Facendo qualche semplice passaggio si ottiene:
questo vale per ![{\displaystyle \forall n\geq \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92b5b043289a6230fe566f4af5884c32e0e6929)
da questa posso scrivere:
![{\displaystyle na_{n}>\alpha a_{\alpha }\Rightarrow a_{n}>{\frac {\alpha a_{\alpha }}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a072e2711d5702af43e5afcd0b45ef7d78603a4)
dove:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha a_{\alpha }}{n}}=+\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9faa2c7910f13f3b7967e80c1d961ab251a3ef5b)
Perché quest'ultima è una serie armonica moltiplicata per una costante. Inoltre per il criterio del confronto risulta che
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=+\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee06f85c9a7c43fcafd62c4343e6448294e1b8f)
Criterio di condensazione di Cauchy
Se
è una successione positiva non crescente, la serie
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf33b91e1eb05d0530e73e355823f3c07821381)
converge se e solo se converge la serie
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f52c3b535d83d09652be68ac9f13116c062f3fd)
Criterio dell'integrale
Si consideri un intero
e una funzione continua non negativa
definita sull'intervallo illimitato
, in cui è monotonicamente decrescente. Allora la serie
![{\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d24efdf70da8768203351f817fad8084f1e4ec)
converge a un numero reale se e solo se l'integrale improprio
![{\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b7a761015902ac7943525f6a2c31bdbbda4c24)
è finito.
Osservazione: se l'integrale improprio è finito, allora il metodo dà anche un maggiorante e un minorante
![{\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea438f90985c331543453b762fd346168ef5cd9c)
per la serie.
Dimostrazione
La dimostrazione utilizza il teorema del confronto fra il termine
con l'integrale di
sugli intervalli
e
, rispettivamente.
Poiché
è decrescente, si sa che
![{\displaystyle f(x)\leq f(n)\quad {\text{per ogni }}x\in [n,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a45096e48466e968380017d6dabc9bd4a667ea)
e
![{\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{per ogni }}x\in [N,n].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81fb957bb578798d8e1330b0b538dab2372f2bc7)
Quindi, per ogni intero
,
![{\displaystyle \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c11e063b01b3331f3bfd3c2f6fd5c00c49cb273)
e, per ogni intero
,
![{\displaystyle f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14331058cfe556b7909914eead132dfcce33e45d)
Dalla somma su tutti gli
da
a qualche intero maggiore
, si ricava dalle disuguaglianze precedenti che
![{\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51f0a3f662fe42455c40c543667d0f1da48498c)
e
![{\displaystyle \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eacf25482867eb6167740acea0fa709abdc419f)
Combinando i risultati si ha
![{\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8eac41fa332a096751764725526d1e87894a77)
Facendo tendere
a infinito, segue sia il teorema che la stima del valore della serie.
Serie a termini discordi
Criterio di convergenza assoluta
Data una serie
, si dice che essa è assolutamente convergente se
converge.
Teorema
Se una serie è convergente assolutamente è anche convergente semplicemente.
Dimostrazione
Sia
una serie.
Consideriamo
; per ipotesi, essa converge. Allora
(deve essere soddisfatta la condizione di Cauchy sulle serie)
(la serie dei moduli non è mai negativa)
(minorazione tramite la disuguaglianza triangolare: la somma dei moduli è maggiore eguale al modulo della somma)
![{\displaystyle \Leftrightarrow \sum {a_{k}}{\text{ converge}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ddff9f265fbd1e5d60910163547aeebcf27161)
Criterio di Leibniz
Si dicono serie a termini di segno alterno le serie a termini reali tali che due termini consecutivi hanno segno opposto. La serie
, con
definitivamente positiva, è dunque a termini di segno alterno, infatti:
- per
pari il termine è positivo; - per
dispari il termine è negativo.
Per queste serie vale il seguente criterio di Leibniz:
Data la serie
, se la successione
è definitivamente positiva, decrescente e tende a
, cioè:
![{\displaystyle |a_{n}|\geq |a_{n+1}|>0,\quad \forall n>N;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc191f24a83910a502fbaddb2c1a36fd05b628d)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }|a_{n}|=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a260290da710abaf4b3b4f6c1b7a37cf228be32)
Allora si ha che:
- la serie è convergente ad
![{\displaystyle S\in \mathbb {R} ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0472f0a5fd7b02c8227f6146c8cf85ef64aa452)
- le somme parziali di ordine pari e quelle di ordine dispari sono monotone e tendono a
![{\displaystyle S;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e269413adacab44c96c066d297274b4163ec5035)
, il resto
-esimo è minore al termine ![{\displaystyle a_{n+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc665929ecfee1b1083a0a15dbb5003f701c972)
Criterio di Dirichlet
Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Dirichlet (matematica). Il criterio di Dirichlet per le serie generalizza il criterio di Leibniz. Siano
e
due successioni. Se
tende monotonamente a
, e se la serie dei
è limitata, cioè se
![{\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}\geq \cdots >0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f0ccab2c070e676e1d5e9553cce463e858c1c3)
![{\displaystyle |\sum _{n=1}^{N}b_{n}|<M,\quad \forall N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0161fd121e5eec43d2a74af28d1a4ee3db51ef5)
Allora la serie
è convergente. In particolare, ponendo
si ottiene il criterio di Leibniz.
Note
- ^ Criterio del rapporto per serie numeriche, dimostrazione, su youmath.it.
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