Punto angoloso

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In analisi matematica, un punto angoloso è un punto ${\displaystyle x_{0}}$ del dominio di una funzione reale di una variabile reale ${\displaystyle f(x)}$ in cui esistono entrambe le derivate destra e sinistra, ma sono diverse:

${\displaystyle f'_{+}(x_{0})\neq f'_{-}(x_{0})}$

Le derivate non devono essere entrambe infinite, altrimenti si ottiene una cuspide, ma possono essere entrambe finite oppure una finita e una infinita.

Un esempio di punto angoloso è ${\displaystyle x_{0}=0}$ per la funzione ${\displaystyle f(x)=|x|}$. Essendo ${\displaystyle f(x)=x}$ per ${\displaystyle x\geq 0}$ e ${\displaystyle f(x)=-x}$ per ${\displaystyle x<0}$ si ha ${\displaystyle f'(x)=+1}$ se ${\displaystyle x>0}$ e ${\displaystyle f'(x)=-1}$ se ${\displaystyle x<0}$. Nell'origine bisogna utilizzare la definizione di derivata.

${\displaystyle f'(0)=\lim _{h\to 0}{{f(0+h)-f(0)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{|h|} \over {h}}}$

In questo modo si vede che per ${\displaystyle h}$ che tende a ${\displaystyle 0^{+}}$ il limite del rapporto incrementale è ${\displaystyle 1}$, mentre per ${\displaystyle h}$ che tende a ${\displaystyle 0^{-}}$ il limite del rapporto incrementale è ${\displaystyle -1}$.

Poiché in ${\displaystyle x=0}$ i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale sono finiti ma diversi tra loro, la ${\displaystyle f(x)}$ non è derivabile in tale punto. Geometricamente questo significa che esistono due tangenti distinte in tal punto.

• Cuspide (matematica)
• Derivata
• Studio di funzione
• Funzione analitica

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