Matrice hermitiana

In algebra lineare una matrice hermitiana (dal nome del matematico francese Charles Hermite) o matrice autoaggiunta è una matrice a valori complessi che coincide con la propria trasposta coniugata (o matrice aggiunta). Una matrice hermitiana con elementi nel campo dei numeri reali è dunque una matrice simmetrica.

Le matrici hermitiane sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali reali.

Una matrice ${\displaystyle A}$ di elementi ${\displaystyle a_{i,j}}$ è hermitiana se l'elemento nella i-esima riga e j-esima colonna è uguale al complesso coniugato dell'elemento nella j-esima riga e i-esima colonna (per tutti gli indici i e j), ovvero:

${\displaystyle a_{i,j}={\bar {a}}_{j,i}}$

Se i suoi elementi sono tutti reali una matrice hermitiana coincide con la propria trasposta, ed è quindi una matrice simmetrica.

Spesso la matrice trasposta coniugata di ${\displaystyle A}$ è denotata con ${\displaystyle A^{\dagger }}$, quindi se ${\displaystyle A}$ è hermitiana si scrive:

${\displaystyle A=A^{\dagger }}$

Si deve notare che, a seconda degli autori, l'asterisco ${\displaystyle A^{*}}$ è usato per indicare sia la complessa coniugata ${\displaystyle {\overline {A}}}$ che ${\displaystyle A^{\dagger }}$.

Un esempio di matrice hermitiana è:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{pmatrix}}}$

Ogni matrice hermitiana è una matrice quadrata della forma ${\displaystyle A=B+iC}$, dove ${\displaystyle B}$ è una matrice simmetrica (uguale alla propria trasposta) a componenti reali e ${\displaystyle C}$ è una matrice antisimmetrica (opposta alla propria trasposta) a componenti reali, e viceversa. In particolare, gli elementi sulla diagonale principale di una matrice hermitiana sono reali, ed una matrice a componenti reali è hermitiana se e solo se è simmetrica.

Sono matrici hermitiane la somma di due matrici hermitiane e l'inversa di una matrice hermitiana invertibile. Il prodotto di due matrici hermitiane ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, invece, è una matrice hermitiana se e solo se queste commutano, cioè se ${\displaystyle AB=BA}$.

L'insieme delle matrici hermitiane di ordine n è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali di dimensione ${\displaystyle n^{2}}$: gli n elementi sulla diagonale sono reali e gli n(n-1) altri elementi sono coppie di numeri coniugati complessi (${\displaystyle x+iy}$ e ${\displaystyle x-iy}$), quindi a coppie definiti da una coppia di numeri reali. Non è invece uno spazio vettoriale sui numeri complessi, in quanto ${\displaystyle iI_{n}}$ non è hermitiana (mentre lo è ${\displaystyle I_{n}}$).

Ogni matrice hermitiana ${\displaystyle A}$ di ordine finito è normale e per essa vale il teorema spettrale: ${\displaystyle A}$ è diagonalizzabile tramite una matrice unitaria e possiede solo autovalori reali; in particolare, autovettori relativi a distinti autovalori di ${\displaystyle A}$ sono tra loro ortogonali (secondo il prodotto hermitiano standard) ed è possibile trovare una base ortonormale di ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ formata solo da autovettori di ${\displaystyle A}$. Se n autovettori ortonormali ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}}$ di una matrice hermitiana ${\displaystyle A}$ sono scritti come colonne di una matrice ${\displaystyle U}$, allora la decomposizione spettrale di ${\displaystyle A}$ è data da:

${\displaystyle A=UDU^{\dagger }}$

dove ${\displaystyle UU^{\dagger }=I=U^{\dagger }U}$ e dunque:

${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}u_{j}u_{j}^{\dagger }}$

dove ${\displaystyle \lambda _{j}}$ sono gli autovalori sulla diagonale della matrice diagonale ${\displaystyle D}$.

Se gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti positivi la matrice è detta definita positiva, mentre se sono tutti non negativi, la matrice si dice semidefinita positiva.

Il determinante di una matrice hermitiana è reale. Infatti, ${\displaystyle \det(A)=\det(A^{\mathrm {T} })}$ da cui ${\displaystyle \det(A^{\dagger })=\det(A)^{*}}$; quindi se ${\displaystyle A=A^{\dagger }}$ allora ${\displaystyle \det(A)=\det(A)^{*}}$. In alternativa, si può notare che il determinante è il prodotto degli autovalori, che sono reali.

• (EN) F.R. Gantmacher, Matrix theory , 1–2 , Chelsea, reprint (1959)
• (EN) B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear algebra , Prentice-Hall (1979)

• Operatore aggiunto
• Operatore autoaggiunto
• Matrice normale
• Matrice simmetrica
• Matrice trasposta coniugata
• Teorema di Schur-Horn
• Quoziente di Rayleigh

• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice hermitiana, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) A.L. Onishchik, Hermitian matrix, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo, by Chao-Kuei Hung from Shu-Te University, gives a more geometric explanation.

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