Nombre intouchable

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En arithmétique, un nombre intouchable est un entier naturel qui ne peut pas être exprimé comme la somme des diviseurs stricts d'un entier quelconque.

Exemples

• 9 n'est pas intouchable, car 15 a pour diviseurs stricts : 5, 3 et 1 ; or 9 = 1 + 3 + 5.
• 5 est intouchable car la seule somme d'entiers positifs distincts incluant 1 et égale à 5 est 1 + 4, or tout nombre divisible par 4 est aussi divisible par 2.
• Les nombres intouchables inférieurs à 250^[1] sont 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246 et 248.

Propriétés

Paul Erdős a prouvé qu'il existe une infinité de nombres intouchables^[2].

On suppose que 5 est le seul nombre intouchable impair, mais cette conjecture n'a pas été démontrée. Si elle est vraie alors 2 et 5 sont les seuls nombres premiers intouchables.

Aucun nombre parfait n'est intouchable, puisque ces nombres sont ceux égaux à la somme de leurs propres diviseurs stricts.

Notes et références

v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }$) Entier relatif (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$) Nombre décimal (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {D} }$) Nombre rationnel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$) Nombre réel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$) Nombre complexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$)
Extensions	Quaternion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$) Octonion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }$) Sédénion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }$) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{2}}$) Nombre multicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}}$) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}$) Nombre hyperréel Nombre superréel Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi (π) Racine carrée de deux (${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire (i) Constante de Neper (e) Aleph-zéro (ℵ0) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini (∞) Chiffre significatif

v · m Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
Formes de factorisation	Nombre premier Nombre composé Nombre puissant Entier sans facteur carré
Sommes de diviseurs	Nombre parfait Nombre presque parfait Nombre quasi parfait Nombre parfait multiple Nombre hémiparfait Nombre hyperparfait Nombre superparfait Nombre unitairement parfait Nombre semi-parfait Nombre semi-parfait primitif Nombre pratique Nombre abondant Nombre hautement abondant Nombre superabondant Nombre colossalement abondant Nombre déficient Nombre étrange Nombre intouchable
Nombreux diviseurs	Nombre hautement composé Nombre hautement composé supérieur
Autre	Nombres amicaux Nombre sociable Nombre solitaire Nombre sublime Nombre à moyenne harmonique entière Nombre frugal Nombre équidigital Nombre extravagant

• Arithmétique et théorie des nombres