Polární soustava souřadnic

ikona
Tento článek potřebuje úpravy.
Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.
ikona
Tento článek není dostatečně ozdrojován, a může tedy obsahovat informace, které je třeba ověřit.
Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním referencí na věrohodné zdroje.

Polární soustava souřadnic je taková soustava souřadnic v rovině, u které jedna souřadnice (označovaná r {\displaystyle r} ) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná φ {\displaystyle \varphi } ) udává úhel spojnice tohoto bodu a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa x {\displaystyle x} kartézských souřadnic).

Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových pohybů, při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u pohybu po kružnici, případně se tato vzdálenost mění s nějakou jednoduchou závislostí.

Souřadnicová síť v polárních souřadnicích
Bod v polární soustavě souřadnic
Ukázka dvou bodů v polárních souřadnicích: [r=3; φ=60°] a [r=4; φ=210°]
Ukázka převodu polárních souřadnic [r; φ] na kartézské [x; y]

Transformace

Transformace polárních souřadnic na kartézské:

x = r cos ⁡ φ {\displaystyle x=r\cos {\varphi }\,}
y = r sin ⁡ φ {\displaystyle y=r\sin {\varphi }\,}

Převod kartézských souřadnic na polární:

r = x 2 + y 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
φ = arctg ⁡ ( y x ) {\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)}

Tato převodní funkce však funguje jen na intervalu φ ∈ ⟨ 0 , π 2 ⟩ {\displaystyle \varphi \in \langle 0,{\frac {\pi }{2}}\rangle } - pro jiné intervaly bychom museli změnit znaménko funkce arctg(x). Abychom mohli popsat inverzi pro daný úhel na celém jeho definičním intervalu, bývá často používána funkce arctg2(y,x) definovaná jako

arctg2 ⁡ ( y , x ) = { arctg ⁡ ( y x ) ,             je-li  ( x > 0 ) ∧ ( y > 0 ) , arctg ⁡ ( y x ) + π ,   je-li  ( x < 0 ) ,                           arctg ⁡ ( y x ) + 2 π , je-li  ( x > 0 ) ∧ ( y < 0 ) , {\displaystyle \operatorname {arctg2} (y,x)=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right),\ \ \ \ \ \ &{\mbox{je-li }}(x>0)\wedge (y>0),\\\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi ,\ &{\mbox{je-li }}(x<0),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)+2\pi ,&{\mbox{je-li }}(x>0)\wedge (y<0),\\\end{matrix}}\right.}

Převod kartézských souřadnic na polární má potom zápis:

r = x 2 + y 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
φ = arctg2 ⁡ ( y , x ) {\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg2} \left(y,x\right)}

Vlastnosti

Jedná se o ortogonální soustavu souřadnic s Lamého koeficienty

h r = 1 h φ = r {\displaystyle h_{r}=1\quad h_{\varphi }=r} .

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

d s 2 = d r 2 + r 2 d φ 2 , {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \varphi ^{2},}

tedy délka křivky obecně jako

∫ t 1 t 2 ( d r ( t ) d t ) 2 + r 2 ( d φ ( t ) d t ) 2 d t , {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} r(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {\mathrm {d} \varphi (t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t,}

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od t 1 {\displaystyle t_{1}} do t 2 {\displaystyle t_{2}} .

Obsah infinitesimálního elementu plochy spočteme jako

d S = r d r d φ , {\displaystyle \mathrm {d} S=r\mathrm {d} r\mathrm {d} \varphi ,}

takže celkový obsah spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích.

Christofelovy koeficienty Levi-Civitovy konexe generované Euklidovskou metrikou jsou dány vztahy

Γ r r r = Γ φ φ φ = Γ r r φ = Γ r φ r = Γ φ r r = 0 {\displaystyle {\Gamma ^{r}}_{rr}={\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \varphi }={\Gamma ^{r}}_{r\varphi }={\Gamma ^{r}}_{\varphi r}={\Gamma ^{\varphi }}_{rr}=0}
Γ φ φ r = Γ φ r φ = 1 r {\displaystyle {\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi r}={\Gamma ^{\varphi }}_{r\varphi }={\frac {1}{r}}}
Γ r φ φ = − r {\displaystyle {\Gamma ^{r}}_{\varphi \varphi }=-r}

Diferenciální operátory v polárních souřadnicích

∇ f = ∂ f ∂ r r ^ + 1 r ∂ f ∂ φ φ ^ {\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \varphi }{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}


∇ ⋅ A = 1 r ∂ ( r A r ) ∂ r + 1 r ∂ A φ ∂ φ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={1 \over r}{\partial \left(rA_{r}\right) \over \partial r}+{1 \over r}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }}


Δ f = ∇ 2 f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ φ 2 {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}


Δ A = ( Δ A r − A r r 2 − 2 r 2 ∂ A φ ∂ φ ) r ^ + ( Δ A φ − A φ r 2 + 2 r 2 ∂ A r ∂ φ ) φ ^ {\displaystyle \Delta \mathbf {A} =\left(\Delta A_{r}-{A_{r} \over r^{2}}-{2 \over r^{2}}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {r}}}+\left(\Delta A_{\varphi }-{A_{\varphi } \over r^{2}}+{2 \over r^{2}}{\partial A_{r} \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}


soustavy souřadnic
typy soustav prostorová kartézská soustava souřadnic
rovinné soustavy (2D)
polární • bipolární • biangulární
prostorové soustavy (3D)
vícerozměrné soustavy (4D+)
hypersférická

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu polární soustava souřadnic na Wikimedia Commons
  • Polární souřadnice na MathWorldu
Autoritní data Editovat na Wikidatech