Zobecněná souřadnice

ikona
Tento článek potřebuje úpravy.
Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.
Konkrétní problémy: Domnívám se, že srozumitelnost je nedostatečná - co přesně si pod systémem představit. Chybí příklad. Navrhuji založit článek "Mechanický systém", který to vysvětlí. (viz tato diskuse)

Jako zobecněné souřadnice (někdy též obecné souřadnice) se označuje skupina souřadnic použitých k popisu fyzikálního systému. Zobecněné souřadnice nemusí mít fyzikální rozměr délky nebo času. Používají se zvláště v teoretické mechanice.

Nezávislé zobecněné souřadnice

Při řešení určitého fyzikálního problému je výhodné, pokud je možné zvolit zobecněné souřadnice tak, aby byly nezávislé. Tento postup se používá v lagrangeovské mechanice, neboť umožňuje zbavit se těch proměnných, které by bylo nutno vyjádřit pomocí různých vazebných podmínek.

Pro systém s m {\displaystyle m} stupni volnosti a n {\displaystyle n} částicemi, jejichž polohy jsou určeny polohovými vektory { r i } {\displaystyle \{\mathbf {r} _{i}\}} ve třírozměrném prostoru existuje 3 n − m {\displaystyle 3n-m} rovnic, které omezují složky těchto polohových vektorů. Počet zobecněných souřadnic lze v takovém případě zvolit stejný jako je počet stupňů volnosti m {\displaystyle m} . Zobecněné souřadnice { q 1 , q 2 , . . . , q m } {\displaystyle \{q_{1},q_{2},...,q_{m}\}} a čas t {\displaystyle t} postačují k popisu systému, jsou-li všechny zobecněné souřadnice vzájemně nezávislé. Návrat k původním souřadnicím (tedy k polohovým vektorům jednotlivých částic) je pak dán transformačními vztahy

r i = r i ( q 1 , q 2 , . . . , q m , t ) {\displaystyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},...,q_{m},t)}

pro i = 1 , 2 , . . . , n {\displaystyle i=1,2,...,n} .

Tyto transformace umožňují při práci s komplikovanými systémy použít vhodnější souřadnice a po vyřešení problému se vrátit zpět k původním souřadnicím. Pomocí těchto rovnic lze vytvořit diferenciály, např. pro případy virtuálního posunutí nebo zobecněných sil.

Prostor R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} zobecněných souřadnic se nazývá konfigurační prostor.

Zobecněná rychlost

Časová změna zobecněné souřadnice určuje zobecněnou rychlost

q ˙ i = d q i d t {\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}}

Rychlosti pohybu jednotlivých částic lze získat použitím transformačních vztahů

r ˙ i = ∑ k = 1 m ∂ r i ∂ q k q ˙ k {\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}}

Související články