Mô men động lượng

Cơ học cổ điển
Một phần của chuỗi bài viết về
${\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})$ Định luật 2 của Newton về chuyển động
Lịch sử Dòng thời gian Sách giáo khoa
Các nhánh Ứng dụng Thiên thể Môi trường liên tục Dynamics Chuyển động học Tĩnh học Thống kê
Động học chất điểm Vị trí Độ dịch chuyển Thời gian Hệ quy chiếu Vận tốc Vận tốc trung bình Vận tốc tức thời Gia tốc Gia tốc tức thời Gia tốc trung bình Không gian
Động lực học chất điểm Lực Trọng lực Lực pháp tuyến Lực ma sát Lực đàn hồi Lực căng Lực cản Ba định luật Newton Định luật thứ nhất của Newton Định luật thứ hai của Newton Định luật thứ ba của Newton
Năng lượng và Bảo toàn năng lượng Năng lượng Công Công suất Cơ năng Động năng Thế năng Thế năng đàn hồi Thế năng hấp dẫn Đinh lí công - động năng Định luật bảo toàn năng lượng
Cơ học vật rắn Chuyển động quay của vật rắn Vị trí góc Trục quay Đường mốc Độ dời góc Vận tốc góc Vận tốc góc trung bình Vận tốc góc tức thời Gia tốc góc Gia tốc góc trung bình Gia tốc góc tức thời Động năng quay Quán tính quay Định lí trục song song Mômen quay Định luật thứ hai của Newton dưới dạng góc Công quay Vật lăn Mômen động lượng Định luật bảo toàn mômen động lượng Tiến động của con quay Cân bằng tĩnh
Hệ hạt và Tương tác hạt Khối tâm Định luật thứ hai của Newton cho hệ hạt Động lượng Định luật bảo toàn động lượng Va chạm Định lí xung lượng - động lượng Va chạm đàn hồi một chiều Va chạm không đàn hồi Va chạm hai chiều
Dao động cơ và Sóng cơ Tần số Chu kì Chuyển động điều hoà đơn giản Biên độ Pha (dao động cơ) Hằng số pha Biên độ vận tốc Biên độ gia tốc Dao động tử điều hoà tuyến tính Con lắc Con lắc xoắn Con lắc đơn Con lắc vật lí Chuyển động điều hoà tắt dần Dao động cưỡng bức Sự cộng hưởng Sóng ngang Sóng dọc Sóng sin tính Bước sóng Giao thoa sóng cơ Sóng dừng Sóng âm Cường độ âm Mức cường độ âm Phách Hiệu ứng Doppler Sóng xung kích
Các nhà khoa học Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Cổng thông tin Vật lý Thể loại
x t s

Một con quay hổi chuyển vẫn đứng thẳng trong khi quay, do Mô-men quay được bảo toàn.

Trong vật lý học, đại lượng mô-men động lượng (hay mô-men xung lượng, động lượng quay) là một tính chất mô men gắn liền với vật thể trong chuyển động quay đo mức độ và phương hướng quay của vật, so với một tâm quay nhất định.

Với vật rắn cổ điển có kích thước nhỏ hơn nhiều khoảng cách tới tâm quay, mô men động lượng, ${\vec {L}}$ , phụ thuộc vào động lượng, ${\vec {p}}$ , của vật thể và véc-tơ khoảng cách từ vật thể tới tâm quay, ${\vec {r}}$ .

{\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}={\vec {r}}\times m{\vec {v}}

Với các vật thể rắn có hình dạng bất kỳ, mô men động lượng đối với 1 trục cố định có thể được tính từ mô men quán tính của vật rắn đối với trục đó, $I$ , và vận tốc góc, ${\vec {\omega }}$ :

{\vec {L}}=I{\vec {\omega }}

Xây dựng công thức mô-men động lượng của vật rắn

Ta được biết mô-men động lượng của các chất điểm đối với một trục quay có biểu thức:

$L={\vec {r}}\times m{\vec {v}}$

Đối với các vật thể rắn, mô-men động lượng của chúng đối một trục quay là tổng các mô-men động lượng của các chất điểm nhỏ:

${\vec {L}}=\Sigma {\vec {L}}=\Sigma {\vec {r}}_{i}\times m_{i}{\vec {v}}_{i}$

Vài biến đổi toán học và ta có:

${\begin{alignedat}{2}\Sigma {\vec {r}}_{i}\times m_{i}{\vec {v}}_{i}&=\Sigma m_{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {v}}_{i}\\&=\Sigma m_{i}[{\vec {r}}_{i}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})]\\&=\Sigma m_{i}[r_{i}^{2}{\vec {\omega }}-{\vec {r}}_{i}({\vec {r}}_{i}.{\vec {\omega }})]\\&=\Sigma m_{i}[r_{i}^{2}{\vec {\omega }}-{\vec {r}}_{i}(x_{i}\omega _{x}+y_{i}\omega _{y}+z_{i}\omega _{z})]\end{alignedat}}$

Chiếu lên 3 trục xyz và rút gọn, ta có:

${\begin{cases}L_{x}=I_{xx}\omega _{x}+I_{xy}\omega _{y}+I_{xz}\omega _{z}\\L_{y}=I_{yx}\omega _{x}+I_{yy}\omega _{y}+I_{yz}\omega _{z}\\L_{z}=I_{zx}\omega _{x}+I_{zy}\omega _{y}+I_{zz}\omega _{z}\end{cases}}$

Với:

${\begin{cases}I_{xx}=\Sigma m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\\I_{yy}=\Sigma m_{i}(z_{i}^{2}+x_{i}^{2})\\I_{zz}=\Sigma m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\\\end{cases}}$ và ${\begin{cases}I_{xy}=I_{yx}=-\Sigma m_{i}x_{i}y_{i}\\I_{yz}=I_{zy}=-\Sigma m_{i}y_{i}z_{i}\\I_{zx}=I_{xz}=-\Sigma m_{i}z_{i}x_{i}\\\end{cases}}$

Từ đây ta có thể rút gọn các phương trình trên thành một phương trình vector:

${\vec {L}}=[I]\times {\vec {\omega }}$

Với $[I]$ là Ten-xơ moment quán tính

Định luật 2 Newton mở rộng

Khi có mô men lực, ${\vec {M}}$ , tác dụng lên vật thể thì mô men động lượng sẽ thay đổi theo phương trình tương tự như định luật 2 Newton:

${\vec {M}}={d{\vec {L}} \over dt}$

Nếu mô men quán tính của vật thể, $I$ , không thay đổi thì phương trình trên trở thành:

{\vec {M}}=I{d{\vec {\omega }} \over dt}

Định luật bảo toàn mô men động lượng

Từ công thức trên, suy ra nếu không có mô men lực tác động lên vật, mô men động lượng của vật thể sẽ không thay đổi theo thời gian. Đây chính là nội dung của định luật bảo toàn mômen động lượng. Phát biểu cụ thể: "mômen động lượng của một hệ không đổi khi hệ chịu tổng cộng các mômen ngoại lực bằng không".

Cơ học lượng tử

Một đại lượng có ý nghĩa tương tự như mô men động lượng cho chuyển động quay của các vật thể bé nhỏ trong cơ học lượng tử là spin (một trong nhựng đại lượng vật lý)