Giả thuyết Riemann

Các bài toán thiên niên kỷ
Giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer Giả thuyết Hodge Bài toán Navier-Stokes Bài toán P so với NP Giả thuyết Poincaré (đã được giải) Giả thuyết Riemann Bài toán Yang-Mills
x t s

Phần thực (màu đỏ) và phần ảo (màu xanh) của hàm zeta Riemann dọc theo đường giới hạn Re(s) = 1/2. Các không điểm phi tầm thường đầu tiên tại Im(s) = ±14,135; ±21,022 và ±25,011.

Trong toán học, giả thuyết Riemann, nêu bởi Bernhard Riemann (Riemann (1859)), là một phỏng đoán về các không điểm phi tầm thường của hàm zeta Riemann tất cả đều có phần thực bằng 1/2. Tên gọi này đôi khi cũng có nghĩa tương tự cho một số giả thuyết khác như giả thuyết Riemann cho các đường cong trên trường hữu hạn.

Giả thuyết Riemann hàm ý kết quả về sự phân bố các số nguyên tố. Cùng với những dạng tổng quát hóa phù hợp, các nhà toán học coi nó là một trong những bài toán quan trọng nhất chưa được giải trong toán học thuần túy (Bombieri 2000). Giả thuyết Riemann, cùng với giả thuyết Goldbach thuộc về bài toán thứ tám của Hilbert trong danh sách 23 bài toán chưa giải được của David Hilbert; nó cũng là một trong bảy bài toán của Giải thưởng Bài toán Thiên niên kỷ do Viện Toán học Clay khởi xướng.

Hàm zeta Riemann ζ(s) là hàm với đối số s là một số phức bất kỳ khác 1, và giá trị của hàm cũng là giá trị phức. Các không điểm của hàm (nghiệm) bao gồm tại các số nguyên âm chẵn; tức là ζ(s) = 0 khi s nhận các giá trị −2, −4, −6, .... Chúng được gọi là các không điểm tầm thường. Tuy nhiên, các số nguyên âm chẵn không phải là các nghiệm duy nhất của hàm zeta; và những nghiệm này gọi là không điểm phi tầm thường hay "không điểm không tầm thường". Giả thuyết Riemann đề cập đến vị trí của các không điểm phi tầm thường này, và phát biểu rằng:

Phần thực của mọi không điểm không tầm thường của hàm zeta Riemann là bằng 1/2.

Do vậy các không điểm phi tầm thường sẽ nằm trên đường giới hạn chứa các số phức 1/2 + i t, với t là số thực và i là đơn vị ảo.

Có một vài sách phổ biến về giả thuyết Riemann, như của Derbyshire (2003), Rockmore (2005), Sabbagh (2003), du Sautoy (2003). Các sách như Edwards (1974), Patterson (1988) và Borwein và đồng nghiệp (2008) đưa ra nội dung toán học của nó, trong khi Titchmarsh (1986), Ivić (1985) và Karatsuba & Voronin (1992) trình bày ở mức khó hơn.

Đặc điểm

Đây là một trong những bài toán thiên niên kỷ, tập hợp của những vấn đề mở quan trọng nhất trong toán học. Giải quyết được bất kỳ vấn đề nào trong đó đều được giải thưởng lên tới một triệu USD.^[1]

Giả thuyết Riemann (theo tên của nhà toán học người Đức ở thế kỷ 19, Bernhard Riemann) cung cấp một sự ước đoán chính xác hơn rất nhiều về số lượng số nguyên tố nhỏ hơn một số cho trước. Tuy nhiên, cũng giống như các giả thuyết trên, dù đã được chứng minh là đúng với hàng tỷ trường hợp, nó vẫn chưa được chứng minh tổng quát.

Hàm zeta Riemann

Hàm zeta Riemann xác định đối với số phức s với phần thực lớn hơn 1 bởi chuỗi vô hạn hội tụ tuyệt đối

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots .

Leonhard Euler chứng minh được rằng chuỗi này bằng tích Euler

\zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots

với tích vô hạn mở rộng trên mọi số nguyên tố p, và chuỗi này hội tụ đối với các số phức s với phần thực lớn hơn 1. Sự hội tụ của tích Euler chứng tỏ rằng hàm ζ(s) không có một không điểm nào trong miền này, do không có một giá trị s nào làm cho hàm bằng 0.

Giả thuyết Riemann đề cập đến các không điểm nằm ngoài miền hội tụ của chuỗi này, do vậy nó cần phải liên tục giải tích đối với mọi số phức số phức s. Điều này có thể chứng minh khi biểu diễn nó theo hàm eta Dirichlet như sau. Nếu phần thực của s lớn hơn 1, thì hàm zeta thỏa mãn

\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots .

Tuy nhiên, chuỗi bên vế phải hội tụ không những khi s lớn hơn 1, mà còn trong trường hợp s có phần thực dương. Do vậy, chuỗi thay thế này mở rộng hàm zeta từ miền Re(s) > 1 sang miền lớn hơn Re(s) > 0, ngoại trừ tại các không điểm $s=1+2\pi in/\ln(2)$ của $1-2/2^{s}$ (xem hàm eta Dirichlet). Hàm zeta cũng có thể mở rộng tới những giá trị này bằng cách lấy giới hạn, sẽ thu được giá trị hữu hạn cho mọi giá trị của s với phần thực dương ngoại trừ một trường hợp khi s = 1.

Trong miền 0 < Re(s) < 1 hàm zeta thỏa mãn phương trình hàm

\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).

Có thể định nghĩa ζ(s) cho mọi số phức s khác 0 còn lại bằng cách giả sử rằng phương trình này thỏa mãn cả bên ngoài miền xác định, và đặt ζ(s) bằng vế phải của phương trình khi s có phần thực không dương. Nếu s là một số nguyên âm chẵn thì ζ(s) = 0 bởi vì nhân tử sin(πs/2) bằng 0; đây là các không điểm tầm thường của hàm zeta. (Lập luận này không đúng nếu s là một số nguyên dương chẵn bởi vì giá trị 0 của sin bị triệt tiêu tại các cực của hàm gamma khi nó nhận các tham số nguyên âm.) Giá trị tại ζ(0) = −1/2 là không xác định bởi phương trình hàm, nhưng nó là giới hạn của ζ(s) khi s tiến đến 0. Phương trình hàm cũng hàm ý rằng hàm zeta không có các không điểm với phần thực âm ngoại trừ các không điểm tầm thường nêu ở trên; do đó mọi không điểm phi tầm thường nằm trong miền giới hạn với s có phần thực nằm giữa 0 và 1.

Xem thêm

Tổng quát hóa giả thuyết Riemann
Giả thuyết Riemann cho các đường cong trên trường hữu hạn
Bài toán Hilbert
Giải thưởng Thiên niên kỷ Toán học

Thư mục tham khảo

Artin, Emil (1924), “Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil”, Mathematische Zeitschrift, 19 (1): 207–246, doi:10.1007/BF01181075
Beurling, Arne (1955), “A closure problem related to the Riemann zeta-function”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 41 (5): 312–314, doi:10.1073/pnas.41.5.312, MR 0070655
Bohr, H.; Landau, E. (1914), “Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-Funktion und die L-Funktionen”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 37 (1): 269–272, doi:10.1007/BF03014823
Bombieri, Enrico (2000), The Riemann Hypothesis – official problem description (PDF), Clay Mathematics Institute, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 22 tháng 12 năm 2015, truy cập ngày 25 tháng 10 năm 2008 Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008).
Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; và đồng nghiệp biên tập (2008), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-72126-2, ISBN 978-0-387-72125-5
Borwein, Peter; Ferguson, Ron; Mossinghoff, Michael J. (2008), “Sign changes in sums of the Liouville function”, Mathematics of Computation, 77 (263): 1681–1694, doi:10.1090/S0025-5718-08-02036-X, MR 2398787
de Branges, Louis (1992), “The convergence of Euler products”, Journal of Functional Analysis, 107 (1): 122–210, doi:10.1016/0022-1236(92)90103-P, MR 1165869
Cartier, P. (1982), “Comment l'hypothèse de Riemann ne fut pas prouvée”, Seminar on Number Theory, Paris 1980–81 (Paris, 1980/1981), Progr. Math., 22, Boston, MA: Birkhäuser Boston, tr. 35–48, MR 0693308
Connes, Alain (1999), “Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function”, Selecta Mathematica. New Series, 5 (1): 29–106, arXiv:math/9811068, doi:10.1007/s000290050042, MR 1694895
Connes, Alain (2000), “Noncommutative geometry and the Riemann zeta function”, Mathematics: frontiers and perspectives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, tr. 35–54, MR 1754766
Conrey, J. B. (1989), “More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line”, J. Reine angew. Math., 399: 1–16, MR 1004130
Conrey, J. Brian (2003), “The Riemann Hypothesis” (PDF), Notices of the American Mathematical Society: 341–353 Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008).
Conrey, J. B.; Li, Xian-Jin (2000), “A note on some positivity conditions related to zeta and L-functions”, International Mathematics Research Notices, 2000 (18): 929–940, arXiv:math/9812166, doi:10.1155/S1073792800000489, MR 1792282
Deligne, Pierre (1974), “La conjecture de Weil. I”, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 43: 273–307, doi:10.1007/BF02684373, MR 0340258
Deligne, Pierre (1980), “La conjecture de Weil: II”, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 52: 137–252, doi:10.1007/BF02684780
Deninger, Christopher (1998), “Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998)”, Documenta Mathematica: 163–186, MR 1648030 |chapter= bị bỏ qua (trợ giúp)
Derbyshire, John (2003), Prime Obsession, Joseph Henry Press, Washington, DC, ISBN 978-0-309-08549-6, MR 1968857
Dyson, Freeman (2009), “Birds and frogs” (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 56 (2): 212–223, MR 2483565
Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0, MR 0466039
Fesenko, Ivan (2010), “Analysis on arithmetic schemes. II”, Journal of K-theory, 5: 437–557
Ford, Kevin (2002), “Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function”, Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series, 85 (3): 565–633, doi:10.1112/S0024611502013655, MR 1936814
Franel, J.; Landau, E. (1924), “Les suites de Farey et le problème des nombres premiers" (Franel, 198–201); "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel (Landau, 202–206)”, Göttinger Nachrichten: 198–206
Ghosh, Amit (1983), “On the Riemann zeta function—mean value theorems and the distribution of |S(T)|”, J. Number Theory, 17: 93–102, doi:10.1016/0022-314X(83)90010-0
Gourdon, Xavier (2004), The 10¹³ first zeros of the Riemann Zeta function, and zeros computation at very large height (PDF)
Gram, J. P. (1903), “Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann”, Acta Mathematica, 27: 289–304, doi:10.1007/BF02421310
Hadamard, Jacques (1896), “Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques”, Bulletin Société Mathématique de France, 14: 199–220 Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008).
Hardy, G. H. (1914), “Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann”, C. R. Acad. Sci. Paris, 158: 1012–1014, JFM 45.0716.04 Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008).
Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1921), “The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line”, Math. Z., 10 (3–4): 283–317, doi:10.1007/BF01211614
Haselgrove, C. B. (1958), “A disproof of a conjecture of Pólya”, Mathematika, 5 (2): 141–145, doi:10.1112/S0025579300001480, ISSN 0025-5793, MR 0104638, Zbl 0085.27102 Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008).
Haselgrove, C. B.; Miller, J. C. P. (1960), Tables of the Riemann zeta function, Royal Society Mathematical Tables, Vol. 6, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-06152-0, MR 0117905 Review
Hutchinson, J. I. (1925), “On the Roots of the Riemann Zeta-Function”, Transactions of the American Mathematical Society, 27 (1): 49–60, doi:10.2307/1989163, JSTOR 1989163
Ingham, A.E. (1932), The Distribution of Prime Numbers, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 30, Cambridge University Press. Reprinted 1990, ISBN 978-0-521-39789-6, MR1074573
Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York: Springer, ISBN 0-387-97329-X
Ivić, A. (1985), The Riemann Zeta Function, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80634-9, MR 0792089 (Reprinted by Dover 2003)
Ivić, Aleksandar (2008), “On some reasons for doubting the Riemann hypothesis”, trong Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; và đồng nghiệp (biên tập), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, tr. 131–160, arXiv:math.NT/0311162, ISBN 978-0-387-72125-5
Karatsuba, A. A. (1984a), “Zeros of the function ζ(s) on short intervals of the critical line”, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. (bằng tiếng Nga), 48 (3): 569–584, MR 0747251
Karatsuba, A. A. (1984b), “Distribution of zeros of the function ζ(1/2 + it)”, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. (bằng tiếng Nga), 48 (6): 1214–1224, MR 0772113
Karatsuba, A. A. (1985), “Zeros of the Riemann zeta-function on the critical line”, Trudy Mat. Inst. Steklov. (bằng tiếng Nga) (167): 167–178, MR 0804073
Karatsuba, A. A. (1992), “On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line”, Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat. (bằng tiếng Nga), 56 (2): 372–397, MR 1180378
Karatsuba, A. A.; Voronin, S. M. (1992), The Riemann zeta-function, de Gruyter Expositions in Mathematics, 5, Berlin: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-013170-3, MR 1183467
Keating, Jonathan P.; Snaith, N. C. (2000), “Random matrix theory and ζ(1/2 + it)”, Communications in Mathematical Physics, 214 (1): 57–89, doi:10.1007/s002200000261, MR 1794265
Knauf, Andreas (1999), “Number theory, dynamical systems and statistical mechanics”, Reviews in Mathematical Physics. A Journal for Both Review and Original Research Papers in the Field of Mathematical Physics, 11 (8): 1027–1060, doi:10.1142/S0129055X99000325, MR 1714352
von Koch, Helge (1901), “Sur la distribution des nombres premiers”, Acta Mathematica, 24: 159–182, doi:10.1007/BF02403071
Kurokawa, Nobushige (1992), “Multiple zeta functions: an example”, Zeta functions in geometry (Tokyo, 1990), Adv. Stud. Pure Math., 21, Tokyo: Kinokuniya, tr. 219–226, MR 1210791
Lapidus, Michel L. (2008), In search of the Riemann zeros, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4222-5, MR 2375028
Bản mẫu:Eom
Lehmer, D. H. (1956), “Extended computation of the Riemann zeta-function”, Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics, 3 (2): 102–108, doi:10.1112/S0025579300001753, MR 0086083
Leichtnam, Eric (2005), “An invitation to Deninger's work on arithmetic zeta functions”, Geometry, spectral theory, groups, and dynamics, Contemp. Math., 387, Providence, RI: Amer. Math. Soc., tr. 201–236, MR 2180209.
Levinson, N. (1974), “More than one-third of the zeros of Riemann's zeta function are on σ = 1/2”, Adv. In Math., 13 (4): 383–436, doi:10.1016/0001-8708(74)90074-7, MR 0564081
Littlewood, J. E. (1962), “The Riemann hypothesis”, The scientist speculates: an anthology of partly baked idea, New York: Basic books
van de Lune, J.; te Riele, H. J. J.; Winter, D. T. (1986), “On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. IV”, Mathematics of Computation, 46 (174): 667–681, doi:10.2307/2008005, JSTOR 2008005, MR 0829637
Massias, J.-P.; Nicolas, Jean-Louis; Robin, G. (1988), “Évaluation asymptotique de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique”, Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica, 50 (3): 221–242, MR 0960551
Montgomery, Hugh L. (1973), “The pair correlation of zeros of the zeta function”, Analytic number theory, Proc. Sympos. Pure Math., XXIV, Providence, R.I.: American Mathematical Society, tr. 181–193, MR 0337821 Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008).
Montgomery, Hugh L. (1983), “Zeros of approximations to the zeta function”, trong Erdős, Paul (biên tập), Studies in pure mathematics. To the memory of Paul Turán, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, tr. 497–506, ISBN 978-3-7643-1288-6, MR 0820245
Nicely, Thomas R. (1999), “New maximal prime gaps and first occurrences”, Mathematics of Computation, 68 (227): 1311–1315, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0, MR 1627813, Bản gốc lưu trữ ngày 30 tháng 12 năm 2014, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013.
Nyman, Bertil (1950), On the One-Dimensional Translation Group and Semi-Group in Certain Function Spaces, PhD Thesis, University of Uppsala: University of Uppsala, MR 0036444
Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J. (1985), “Disproof of the Mertens conjecture”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 357: 138–160, doi:10.1515/crll.1985.357.138, MR 0783538, Bản gốc lưu trữ ngày 11 tháng 7 năm 2012, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013
Odlyzko, A. M. (1987), “On the distribution of spacings between zeros of the zeta function”, Mathematics of Computation, 48 (177): 273–308, doi:10.2307/2007890, JSTOR 2007890, MR 0866115
Odlyzko, A. M. (1990), “Bounds for discriminants and related estimates for class numbers, regulators and zeros of zeta functions: a survey of recent results”, Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux, Série 2, 2 (1): 119–141, MR 1061762
Odlyzko, A. M. (1992), The 10²⁰-th zero of the Riemann zeta function and 175 million of its neighbors (PDF) This unpublished book describes the implementation of the algorithm and discusses the results in detail.
Odlyzko, A. M. (1998), The 10²¹st zero of the Riemann zeta function (PDF)
Ono, Ken; Soundararajan, K. (1997), “Ramanujan's ternary quadratic form”, Inventiones Mathematicae, 130 (3): 415–454, doi:10.1007/s002220050191
Patterson, S. J. (1988), An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 14, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33535-5, MR 0933558
Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
Riemann, Bernhard (1859), “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”, Monatsberichte der Berliner Akademie. In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). Original manuscript Lưu trữ 2013-05-23 tại Wayback Machine (with English translation). Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008) and (Edwards 1874)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFEdwards1874 (trợ giúp)
Riesel, Hans; Göhl, Gunnar (1970), “Some calculations related to Riemann's prime number formula”, Mathematics of Computation, 24 (112): 969–983, doi:10.2307/2004630, JSTOR 2004630, MR 0277489
Riesz, M. (1916), “Sur l'hypothèse de Riemann”, Acta Mathematica, 40: 185–190, doi:10.1007/BF02418544
Robin, G. (1984), “Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série, 63 (2): 187–213, MR 0774171
Rockmore, Dan (2005), Stalking the Riemann hypothesis, Pantheon Books, ISBN 978-0-375-42136-5, MR 2269393
Rosser, J. Barkley; Yohe, J. M.; Schoenfeld, Lowell (1969), “Rigorous computation and the zeros of the Riemann zeta-function. (With discussion)”, Information Processing 68 (Proc. IFIP Congress, Edinburgh, 1968), Vol. 1: Mathematics, Software, Amsterdam: North-Holland, tr. 70–76, MR 0258245
Rudin, Walter (1973), Functional Analysis, 1st edition (January 1973), New York: McGraw-Hill, ISBN 0-070-54225-2
Sabbagh, Karl (2003), The Riemann hypothesis, Farrar, Straus and Giroux, New York, ISBN 978-0-374-25007-2, MR 1979664
Salem, Raphaël (1953), “Sur une proposition équivalente à l'hypothèse de Riemann”, Les Comptes rendus de l'Académie des sciences, 236: 1127–1128, MR 0053148
Sarnak, Peter (2008), “Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis”, trong Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; và đồng nghiệp (biên tập), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike (PDF), CMS Books in Mathematics, New York: Springer, tr. 107–115, ISBN 978-0-387-72125-5, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 13 tháng 4 năm 2016, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013
du Sautoy, Marcus (2003), The music of the primes, HarperCollins Publishers, ISBN 978-0-06-621070-4, MR 2060134
Schoenfeld, Lowell (1976), “Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II”, Mathematics of Computation, 30 (134): 337–360, doi:10.2307/2005976, JSTOR 2005976, MR 0457374
Schumayer, Daniel; Hutchinson, David A. W. (2011), Physics of the Riemann Hypothesis, arXiv:1101.3116
Selberg, Atle (1942), “On the zeros of Riemann's zeta-function”, Skr. Norske Vid. Akad. Oslo I., 10: 59 pp, MR 0010712
Selberg, Atle (1946), “Contributions to the theory of the Riemann zeta-function”, Arch. Math. Naturvid., 48 (5): 89–155, MR 0020594
Selberg, Atle (1956), “Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series”, J. Indian Math. Soc. (N.S.), 20: 47–87, MR 0088511
Serre, Jean-Pierre (1969/70), “Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures)”, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 19 Kiểm tra giá trị ngày tháng trong: |year= (trợ giúp)
Sheats, Jeffrey T. (1998), “The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for F_q[T]”, Journal of Number Theory, 71 (1): 121–157, doi:10.1006/jnth.1998.2232, MR 1630979
Siegel, C. L. (1932), “Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie”, Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2: 45–80 Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
Speiser, Andreas (1934), “Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion”, Mathematische Annalen, 110: 514–521, doi:10.1007/BF01448042, JFM 60.0272.04, Bản gốc lưu trữ ngày 27 tháng 6 năm 2015, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013
Stein, William; Mazur, Barry (2007), What is Riemann’s Hypothesis? (PDF), Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 27 tháng 3 năm 2009, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013
Suzuki, Masatoshi (2011), “Positivity of certain functions associated with analysis on elliptic surfaces”, Journal of Number Theory, 131: 1770–1796
Titchmarsh, Edward Charles (1935), “The Zeros of the Riemann Zeta-Function”, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, The Royal Society, 151 (873): 234–255, doi:10.1098/rspa.1935.0146, JSTOR 96545
Titchmarsh, Edward Charles (1936), “The Zeros of the Riemann Zeta-Function”, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, The Royal Society, 157 (891): 261–263, doi:10.1098/rspa.1936.0192, JSTOR 96692
Titchmarsh, Edward Charles (1986), The theory of the Riemann zeta-function (ấn bản 2), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853369-6, MR 0882550
Trudgian, Timothy (2011), “On the success and failure of Gram's Law and the Rosser Rule”, Acta Arithmetica, 125: 225–256
Turán, Paul (1948), “On some approximative Dirichlet-polynomials in the theory of the zeta-function of Riemann”, Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd., 24 (17): 36, MR 0027305 Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008).
Turing, Alan M. (1953), “Some calculations of the Riemann zeta-function”, Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series, 3: 99–117, doi:10.1112/plms/s3-3.1.99, MR 0055785
de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1896), “Recherches analytiques sur la théorie des nombers premiers”, Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 20: 183–256
de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1899–1900), “Sur la fonction ζ(s) de Riemann et la nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée”, Mem. Couronnes Acad. Sci. Belg., 59 (1) Reprinted in (Borwein và đồng nghiệp 2008).
Weil, André (1948), Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent, Actualités Sci. Ind., no. 1041 = Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 7 (1945), Hermann et Cie., Paris, MR 0027151
Weil, André (1949), “Numbers of solutions of equations in finite fields”, Bulletin of the American Mathematical Society, 55 (5): 497–508, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4, MR 0029393 Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil ISBN 0-387-90330-5
Weinberger, Peter J. (1973), “On Euclidean rings of algebraic integers”, Analytic number theory (St. Louis Univ., 1972), Proc. Sympos. Pure Math., 24, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., tr. 321–332, MR 0337902
Wiles, Andrew (2000), “Twenty years of number theory”, Mathematics: frontiers and perspectives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, tr. 329–342, ISBN 978-0-8218-2697-3, MR 1754786
Zagier, Don (1977), “The first 50 million prime numbers” (PDF), Math. Intelligencer, Springer, 0: 7–19, doi:10.1007/BF03039306, MR 0643810, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 27 tháng 3 năm 2009, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013
Zagier, Don (1981), “Eisenstein series and the Riemann zeta function”, Automorphic forms, representation theory and arithmetic (Bombay, 1979), Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math., 10, Tata Inst. Fundamental Res., Bombay, tr. 275–301, MR 0633666

Tham khảo

^ Những giả thuyết chưa được chứng minh về số nguyên tố

Liên kết ngoài

American institute of mathematics, Riemann hypothesis
Apostol, Tom, Where are the zeros of zeta of s? Poem about the Riemann hypothesis, sung by John Derbyshire.
Borwein, Peter, The Riemann Hypothesis (PDF), Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 27 tháng 3 năm 2009, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013 (Slides for a lecture)
Conrad, K. (2010), Consequences of the Riemann hypothesis
Conrey, J. Brian; Farmer, David W, Equivalences to the Riemann hypothesis, Bản gốc lưu trữ ngày 16 tháng 3 năm 2010, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013
Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2004), Computation of zeros of the Zeta function (Reviews the GUE hypothesis, provides an extensive bibliography as well).
Odlyzko, Andrew, Home page including papers on the zeros of the zeta function and tables of the zeros of the zeta function
Odlyzko, Andrew (2002), Zeros of the Riemann zeta function: Conjectures and computations (PDF) Slides of a talk
Pegg, Ed (2004), Ten Trillion Zeta Zeros, Math Games website, Bản gốc lưu trữ ngày 2 tháng 11 năm 2004, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013 Đã định rõ hơn một tham số trong |archiveurl= và |archive-url= (trợ giúp). A discussion of Xavier Gourdon's calculation of the first ten trillion non-trivial zeros
Pugh, Glen, Java applet for plotting Z(t), Bản gốc lưu trữ ngày 30 tháng 6 năm 2015, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013
Rubinstein, Michael, algorithm for generating the zeros, Bản gốc lưu trữ ngày 27 tháng 4 năm 2007, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013.
du Sautoy, Marcus (2006), Prime Numbers Get Hitched, Seed Magazine, Bản gốc lưu trữ ngày 22 tháng 9 năm 2017, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013 Liên kết ngoài trong |publisher= (trợ giúp)
Stein, William A., What is Riemann's hypothesis, Bản gốc lưu trữ ngày 4 tháng 1 năm 2009, truy cập ngày 23 tháng 12 năm 2013
de Vries, Andreas (2004), The Graph of the Riemann Zeta function ζ(s), a simple animated Java applet.
Watkins, Matthew R. (ngày 18 tháng 7 năm 2007), Proposed proofs of the Riemann Hypothesis^{[liên kết hỏng]}
Zetagrid (2002) A distributed computing project that attempted to disprove Riemann's hypothesis; closed in November 2005