Laplace dönüşümü

Matematikte, Laplace dönüşümü, zaman tanım kümesinde tanımlı bir fonksiyonu, frekans tanım kümesinde tanımlı bir başka fonksiyona dönüştürmek amacıyla kullanılır.

Laplace dönüşümü ile diferansiyel denklemler çözmesi daha kolay polinomlara dönüştüğü için, zamandan bağımsız doğrusal sistemlerin modellenmesinde ve diferansiyel denklemlerin çözülmesinde, başlangıç değer teoremi, son değer teoremi ve sınır değer problemi gibi çeşitli problemlerde, olasılık teorisinde ve ilgili fonksiyonun frekans karakteristiğini net bir şekilde göstermesinden dolayı sinyal işlemede de kullanılır.

İsim babası, bu yöntemi geliştiren Pierre-Simon Laplace'tır.

Verilen bir f(t) fonksiyonunun (tüm t ≥ 0 reel sayıları için tanımlı) Laplace dönüşümü F(s) matematiksel olarak şöyle gösterilir:

F ( s ) = L { f ( t ) } = ∫ 0 − ∞ e − s t f ( t ) d t . {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}

Özellikler ve teoremler

Laplace dönüşümü doğrusal dinamik sistemlerin incelenmesini kolaylaştıran bazı özelliklere sahiptir. En önemli özelliği, türevi s {\displaystyle s} ile çarpıma, integrali s {\displaystyle s} ile bölmeye dönüştürmesidir. Yani, diferansiyel denklemleri, çözmesi daha kolay olan polinomlara dönüştürür. Denklem çözüldükten sonra ters Laplace dönüşümü ile zaman tanım kümesine tekrar dönülebilir.

Verilen f(t) ve g(t) fonksiyonları ve bunların Laplace dönüşümleri F(s) ve G(s) için

f ( t ) = L − 1 { F ( s ) } {\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}}
g ( t ) = L − 1 { G ( s ) } {\displaystyle g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}}

aşağıdaki tablo tek yanlı Laplace dönüşümünün özelliklerinin bir listesidir:[1]

Tek yanlı Laplace dönüşümünün özellikleri
Zaman tanım Frekans tanım Yorum
Doğrusallık a f ( t ) + b g ( t )   {\displaystyle af(t)+bg(t)\ } a F ( s ) + b G ( s )   {\displaystyle aF(s)+bG(s)\ } İntegralin temel kurallarıyla kanıtlanabilir.
Frekans Türevlemesi t f ( t )   {\displaystyle tf(t)\ } − F ′ ( s )   {\displaystyle -F'(s)\ }
Genel Frekans Türevlemesi t n f ( t )   {\displaystyle t^{n}f(t)\ } ( − 1 ) n F ( n ) ( s )   {\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ } Genel olarak
Türevleme f ′ ( t )   {\displaystyle f'(t)\ } s F ( s ) − f ( 0 − )   {\displaystyle sF(s)-f(0^{-})\ } İntegralin açık hali yazılıp, bu integralde kısmi integrasyon yöntemi kullanılarak bulunabilir.
İkinci Türevleme f ″ ( t )   {\displaystyle f''(t)\ } s 2 F ( s ) − s f ( 0 − ) − f ′ ( 0 − )   {\displaystyle s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\ } f ′ ( t ) {\displaystyle f'(t)} fonksiyonuna Türevleme özelliği uygulanır.
Genel Türevleme f ( n ) ( t )   {\displaystyle f^{(n)}(t)\ } s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 − ) − ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 − )   {\displaystyle s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})\ } İkinci türevle ilgili sonuçtan tümevarımla bulunmuştur.
Frekans Entegrasyonu f ( t ) t   {\displaystyle {\frac {f(t)}{t}}\ } ∫ s ∞ F ( σ ) d σ   {\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \ }
Entegrasyon ∫ 0 t f ( τ ) d τ = u ( t ) ∗ f ( t ) {\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =u(t)*f(t)} 1 s F ( s ) {\displaystyle {1 \over s}F(s)} u ( t ) {\displaystyle u(t)} Heaviside adım fonksiyonudur.
Ölçekleme f ( a t )   {\displaystyle f(at)\ } 1 | a | F ( s a ) {\displaystyle {1 \over |a|}F\left({s \over a}\right)}
Frekans öteleme e a t f ( t )   {\displaystyle e^{at}f(t)\ } F ( s − a )   {\displaystyle F(s-a)\ }
Zaman öteleme f ( t − a ) u ( t − a )   {\displaystyle f(t-a)u(t-a)\ } e − a s F ( s )   {\displaystyle e^{-as}F(s)\ } u ( t ) {\displaystyle u(t)} Heaviside adım fonksiyonudur.
Sarılım (Konvülsiyon) ( f ∗ g ) ( t ) = ∫ 0 t f ( τ ) g ( t − τ ) d τ {\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau } F ( s ) ⋅ G ( s )   {\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }
Periyodik Fonksiyon f ( t )   {\displaystyle f(t)\ } 1 1 − e − T s ∫ 0 T e − s t f ( t ) d t {\displaystyle {1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt} f ( t ) {\displaystyle f(t)} bir periyodik fonksiyon periyot T {\displaystyle T} şöyle ki f ( t ) = f ( t + T ) , ∀ t {\displaystyle f(t)=f(t+T),\;\forall t}
  • Başlangıç değer teoremi:
f ( 0 + ) = lim s → ∞ s F ( s ) {\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}}
  • Son değer teoremi:
f ( ∞ ) = lim s → 0 s F ( s ) {\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}} , Paydanın kökleri sol taraf düzlemindedir.
son değer teoremi bir fonksiyonun uzun dönem davranışını basit kesirlere ayırma veya diğer zorlu cebir işlemler uygulamaksızın verdiği için yararlıdır. Eğer bir fonksiyonun kökleri sağ taraf düzlemindeyse (örn. e t {\displaystyle e^{t}} or sin ⁡ ( t ) {\displaystyle \sin(t)} ) bu formülün davranışı tanımsızdır.

Ayrıca bakınız

Dış bağlantılar

  • http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi 10 Şubat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Verilen bir fonksiyonun hem Laplace ve Fourier dönüşümlerini, hem de ters dönüşümlerini hesaplayan bir site)

Kaynakça

  1. ^ Korn & Korn 1967, ss. 226–227

Bibliyografya

  • Korn, G. A.; Korn, T. M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, 2nd, McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-035370-1