Herons formel

Herons formel anger sambandet mellan en godtycklig triangels area och dess sidor a, b, c samt semiperimetern (halva omkretsen) s enligt^[1]

${\displaystyle \ Area={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}$

där alltså

${\displaystyle \ s={\frac {1}{2}}\left(a+b+c\right)}$

Formelns namn kommer från den grekiske matematikern Heron, men formeln upptäcktes troligen inte av honom, utan av Arkimedes.^[2]

Herons formel för trianglar är ett specialfall av en mer generell identitet för cykliska fyrhörningar. Genom att nyttja Herons formel och den aritmetiska-geometriska olikheten kan man bevisa den isoperimetriska egenskapen för liksidiga trianglar.

Bevis

Låt ${\displaystyle a,b,c}$ vara sidorna i en triangel och låt ${\displaystyle \gamma }$ vara motstående vinkel till sidan ${\displaystyle c}$. Enligt cosinussatsen gäller

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$

Detta ger (via trigonometriska ettan):

${\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\sqrt {{\frac {4a^{2}b^{2}}{4a^{2}b^{2}}}-{\frac {(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}b^{2}}}}}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}}$

Triangelns höjd mot basen ${\displaystyle a}$ har längden ${\displaystyle b\sin(\gamma )}$ varav följer (med hjälp av konjugatregeln och kvadreringsreglerna):

${\displaystyle {\begin{aligned}Area&={\frac {1}{2}}({\mbox{basen}})({\mbox{höjden}})\\&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&\quad {\scriptstyle {\text{använd konjugatregeln:}}\ x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)\ {\text{, med}}\ 2ab=x}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&\quad {\scriptstyle 2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})=c^{2}-(a^{2}+b^{2}-2ab)\ {\text{och}}\ 2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2})=(a^{2}+b^{2}+2ab)-c^{2}}\\&\quad {\scriptstyle {\text{använd sedan kvadreringsreglerna:}}\ x^{2}+y^{2}-2xy=(x-y)^{2}\ {\text{och}}\ x^{2}+y^{2}+2xy=(x+y)^{2}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})\cdot ((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&\quad {\scriptstyle {\text{använd konjugatregeln (två gånger!):}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c-(a-b))(c+(a-b))\cdot ((a+b)-c)((a+b)+c)}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(c-(a-b))}{2}}{\frac {(c+(a-b))}{2}}{\frac {((a+b)-c)}{2}}{\frac {((a+b)+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&\quad {\scriptstyle b+c-a=a+b+c-2a=2s-2a\ {\text{etcetera ger:}}}\\&={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.\end{aligned}}}$

Se även

• Areasatsen
• Cosinussatsen
• Sinussatsen
• Tangenssatsen

Referenser