Harmoniskt medelvärde

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2022-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Harmoniskt medelvärde är ett av de tre Pythagoreiska medelvärdena och används främst för att beskriva tillväxtfenomen.

Definition

Diskret fördelning

Det harmoniska medelvärdet H av de positiva reella talen x₁, x₂, ..., x_n är definierad som det inverterade värdet av det aritmetiska medelvärdet av reciprokerna till x₁, x₂, ..., x_n:

${\displaystyle H=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{-1}\right)^{-1}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)}}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}.}$

Exempel

Det harmoniska medelvärdet av 1, 2, och 4 är

${\displaystyle {\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{3}}({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})}}={\frac {12}{7}}=1.{\overline {714285}}}$

Kontinuerlig fördelning

För en kontinuerlig fördelning är det harmoniska medelvärdet

${\displaystyle H={\cfrac {1}{\int {\cfrac {1}{x}}f(x)\,dx}}}$

Viktat harmoniskt medelvärde

Om en mängd av vikter ${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n}}$ är associerad med en datamängd ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$, definieras det viktade harmoniska medelvärdet som

${\displaystyle {\cfrac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{\cfrac {w_{i}}{x_{i}}}}}}$

Det harmoniska medelvärdet kan ses som ett specialfall med vikterna = 1.

Tillämpningar

Harmoniskt medelvärde används inom andra vetenskaper som till exempel elektrofysik och geologi. Inom geologin används harmoniskt medelvärde för bestämning av vattengenomsläppigheten i olika jordarter.

Exempel

Antag att en person färdas sträckorna s₁,..., s_n med hastigheterna v₁,..., v_n. Genomsnittshastigheten v för hela resan ges av det viktade harmoniska medelvärdet

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}{s_{i}}\left[\sum _{i=1}^{n}{s_{i}v_{i}^{-1}}\right]^{-1}}$

Medelhastigheten för en bil som kör en 120 km lång sträcka fram och tillbaka mellan hemmet och sommarstugan, först med hastigheten 60 km/h till sommarstugan och sedan tillbaka med hastigheten 120 km/h, är lika med det harmoniska medelvärdet 80 km/h, inte det aritmetiska medelvärdet som är 90 km/h.

Anledningen är att det tar två timmar att köra 120 km med hastigheten 60 km/h och att köra samma sträcka med hastigheten 120 km/h tar en timma. Totalt har bilen kört 240 km under 3 timmar och om vi delar 240 km med 3 timmar blir detta 80 km/h, vilket är lika med det harmoniska medelvärdet:

${\displaystyle v={2 \over {{1 \over 60}+{1 \over 120}}}=80}$

Jämförelse med andra medelvärden

Medelvärden av två tal, a och b, kan konstrueras geometriskt med hjälp av en halvcirkel med diametern a + b.

A: Aritmetiska medelvärdet

Q: Kvadratiska medelvärdet

H: Harmoniska medelvärdet

G: Geometriska medelvärdet

Det framgår att

${\displaystyle {\bar {a}}_{Q}\geq {\bar {a}}_{A}\geq {\bar {a}}_{G}\geq {\bar {a}}_{H}}$

Denna ordning gäller även för ett godtyckligt antal tal.