Cosinussatsen

Cosinussatsen relaterar längden av en sida i en godtycklig triangel till längderna av de andra två samt den till sidan motstående vinkeln.

Antag en triangel med sidlängderna a, b och c och med vinklarna α, β och γ:

Då gäller att[1]

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ⁡ α {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ⁡ β {\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta }
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ⁡ γ {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }

Om någon vinkel är rät erhålls Pythagoras sats då cosinus för en rät vinkel är 0.

Bevis

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-04)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Bevis med Pythagoras sats

Om Pythagoras sats tillämpas erhålls

  a 2 = ( a cos ⁡ β ) 2 + ( b 2 − ( b cos ⁡ α ) 2 ) {\displaystyle \ a^{2}=\left(a\cos \beta \right)^{2}+\left(b^{2}-\left(b\cos \alpha \right)^{2}\right)}

Enligt figuren är

  a cos ⁡ β = c − b cos ⁡ α {\displaystyle \ a\cos \beta =c-b\cos \alpha }

vilket om det insätts i uttrycket för   a 2 {\displaystyle \ a^{2}} ger

a 2 = ( c − b cos ⁡ α ) 2 + b 2 − ( b cos ⁡ α ) 2 {\displaystyle a^{2}=\left(c-b\cos \alpha \right)^{2}+b^{2}-\left(b\cos \alpha \right)^{2}}

En utveckling av ovanstående uttryck ger till slut

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ⁡ α {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }

Bevis med avståndsformeln

En triangel har sidorna a, b, c. Genom att placera triangeln i ett koordinatsystem kan sidlängderna beräknas enligt avståndsformeln med

A = ( b cos ⁡ θ , b sin ⁡ θ ) , B = ( a , 0 ) , C = ( 0 , 0 ) {\displaystyle A=(b\cos \theta ,b\sin \theta ),\quad B=(a,0),\quad C=(0,0)}

Med hjälp av avståndsformeln kan längden av sidan c skrivas som

c = ( a − b cos ⁡ θ ) 2 + ( 0 − b sin ⁡ θ ) 2 ⇒ {\displaystyle c={\sqrt {(a-b\cos \theta )^{2}+(0-b\sin \theta )^{2}}}\quad \Rightarrow }
c 2 = ( a − b cos ⁡ θ ) 2 + ( − b sin ⁡ θ ) 2 {\displaystyle c^{2}=(a-b\cos \theta )^{2}+(-b\sin \theta )^{2}}
c 2 = a 2 − 2 a b cos ⁡ θ + ( b cos ⁡ θ ) 2 + ( b sin ⁡ θ ) 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}-2ab\cos \theta +(b\cos \theta )^{2}+(b\sin \theta )^{2}}
c 2 = a 2 + b 2 ( sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ) − 2 a b cos ⁡ θ {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta }

och slutligen

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ⁡ θ {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \theta }

Se även

  • Areasatsen
  • Sinussatsen
  • Tangenssatsen
  • Sinus
  • Cosinus
  • Tangens

Referenser

  1. ^ Ekbom, Lennart (1978). Tabeller och formler N T Te. Nacka: Esselte Studium. sid. 56. ISBN 91-24-27604-9