Aritmetikens fundamentalsats

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2022-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Aritmetikens fundamentalsats är ett teorem inom den gren av matematiken som kallas talteori. Om ett naturligt tal, som är större än 1, till fullo delas upp i primtalsfaktorer, så är denna uppdelning unik:

Varje naturligt tal större än 1 kan skrivas som en produkt av primtal på ett och endast ett sätt.

Uppdelningar som endast skiljer sig åt med avseende på primtalsfaktorernas ordning är ekvivalenta och räknas som identiska.

Exempel på tal helt uppdelade i primtalsfaktorer:

${\displaystyle 12=2^{2}\cdot 3}$

${\displaystyle 120=2^{3}\cdot 3\cdot 5}$

${\displaystyle 98=2\cdot 7^{2}}$

Bevis av existensen av primtalsfaktorisering

Låt A vara mängden av alla positiva heltal som kan skrivas som en produkt av primtal.

Vi skall visa att mängden A innehåller alla positiva heltal genom att använda ett motsägelsebevis (Latin: reductio ad absurdum).

Bevis av primtalsfaktoriseringens entydighet

Vi skall visa att varje positivt heltal kan uppdelas i en produkt av primtal på endast ett sätt. Primtalsuppdelningar som endast skiljer sig med avseende på primtalsfaktorernas ordning räknas som en uppdelning. Satsen bevisas med ett motsägelsebevis.

Hjälpsats

Om ${\displaystyle p}$ är ett primtal som delar en produkt av heltal, ${\displaystyle a_{1}\,a_{2}\,\cdots \,a_{n}}$, så delar primtalet ${\displaystyle p}$ minst en av faktorerna ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\dots ,a_{n}}$

Hjälpsatsen bevisas först för en produkt av två positiva heltal, ${\displaystyle a}$ och ${\displaystyle b}$ i steg 1 till 3.

1	Låt primtalet ${\displaystyle p}$ dela produkten ${\displaystyle ab}$
2	Antag att ${\displaystyle p}$ inte delar det positiva heltalet ${\displaystyle a}$; vi skall visa att ${\displaystyle p}$ kommer att dela det positiva heltalet ${\displaystyle b}$.
3	Om ${\displaystyle p}$ inte delar talet ${\displaystyle a}$ så måste deras största gemensamma delare vara talet ${\displaystyle 1}$. Enligt Bezouts identitet går det då att finna heltal ${\displaystyle x}$ och ${\displaystyle y}$ sådana att ${\displaystyle \ xp+ya=1}$ vilket efter multiplikation med b övergår till ${\displaystyle \ xpb+yab=b}$ Primtalet ${\displaystyle p}$ delar båda termerna i vänsterledet och därför delar ${\displaystyle p}$ också ${\displaystyle b}$ (högerledet).
4	Om primtalet ${\displaystyle p}$ delar det positiva heltalet ${\displaystyle a_{1}\,}$ är vi klara; annars måste ${\displaystyle p}$ dela produkten av positiva heltal ${\displaystyle a_{2}a_{3}\cdots a_{n}}$ Proceduren kan upprepas och för något i måste primtalet ${\displaystyle p}$ dela ett av de positiva heltalen ${\displaystyle a_{i}}$ enligt ovan. Q.E.D.

Bevis

1	Antag att det finns positiva heltal som kan framställas som en produkt av primtal på mer än ett sätt.
2	Låt n vara ett sådant positivt heltal och anta två framställningar av heltalet n som en produkt av primtal: ${\displaystyle p_{1}\,p_{2}\,\cdots \,p_{s}\,\,=\,q_{1}\,q_{2}\,\cdots \,q_{t}=\,n}$
3	Vissa av primtalen p kan vara identiska med vissa av primtalen q. Om dessa primtal divideras bort erhålls ${\displaystyle p_{i_{1}}\,p_{i_{2}}\,\cdots \,p_{i_{u}}=q_{j_{1}}\,q_{j_{2}}\,\cdots \,q_{j_{v}}=m}$ där ingen faktor ${\displaystyle p_{i_{r}}}$ är lika med någon faktor ${\displaystyle q_{j_{s}}}$.
4	Om vi tillämpar hjälpsatsen på primtalet ${\displaystyle p_{i_{1}}}$ och produkten ${\displaystyle q_{j_{1}}\,q_{j_{2}}\,\cdots \,q_{j_{v}},}$ så måste primtalet ${\displaystyle p_{i_{1}}}$, eftersom det delar ${\displaystyle \ m}$, dela något av primtalen ${\displaystyle q_{j_{k}}}$. Men detta är omöjligt och således var det fel att anta att det fanns positiva heltal som kunde framställas som en produkt av primtal på mer än ett sätt. Q.E.D.

Se även

• Algebrans fundamentalsats
• Aritmetik
• Matematik
• Talteori
• Algebraisk talteori

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Aritmetikens fundamentalsats.
  Bilder & media

v • r Delbarhetsbaserade heltalsmängder Översikt Primtalsfaktorisering · Delbarhet · Unitär delare · Sigmafunktionen · Primtalsfaktor · Aritmetikens fundamentalsats · Aritmetiskt tal Faktoriserade former Primtal · Sammansatt · Semiprimtal · Rektangel · Sfeniskt · Kvadratfritt · Potensrikt · Perfekt potens · Akilles · Slätt · Regelbundet · Grovt · Extraordinärt Begränsade delarsummor Perfekt · Nästan-perfekt · Kvasiperfekt · Multiperfekt · Hemiperfekt · Hyperperfekt · Superperfekt · Unitärt perfekt · Semiperfekt · Praktiskt · Erdős–Nicolas Med många delare Ymnigt · Primitivt ymnigt · Mycket ymnigt · Superymnigt · Kolossalt ymnigt · Mycket sammansatt · Mycket högt sammansatt · Supernaturligt · Övernaturligt Alikvotföljdsrelaterade Oberörbart · Vänskapligt · Sociabelt · Kvasivänskapligt Andra mängder Defekt · Vänligt · Solitärt · Sublimt · Harmoniskt delartal · Frugalt · Ekvidigitalt · Extravagant Lista över tal