Areasatsen

Areasatsen är en formel för att beräkna en triangels area då två sidor och mellanliggande vinkel är kända.

Antag en triangel med sidlängderna a , b {\displaystyle a,b} och c {\displaystyle c} och där sidornas motstående vinklar är α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } respektive γ {\displaystyle \gamma } .

Triangelns area kan då beräknas med någon av formlerna

A r e a n = a b sin ⁡ γ 2 {\displaystyle Arean={ab\sin \gamma \over 2}}
A r e a n = a c sin ⁡ β 2 {\displaystyle Arean={ac\sin \beta \over 2}}
A r e a n = b c sin ⁡ α 2 {\displaystyle Arean={bc\sin \alpha \over 2}}

Härledning

Arean av en triangel är lika med basen b {\displaystyle b} multiplicerat med höjden h {\displaystyle h} genom två, det vill säga:

  A r e a n = b h 2 {\displaystyle \ Arean={bh \over 2}}

Definitionen av sinus ger:

h = a ⋅ sin ⁡ γ {\displaystyle h=a\cdot \sin \gamma }

Och således är:

  A r e a n = a b sin ⁡ γ 2 {\displaystyle \ Arean={ab\sin \gamma \over 2}}

Referenser

  • Areasatsen på Matteboken.

Se även

  • Sinussatsen
  • Cosinussatsen
  • Tangenssatsen
  • Herons formel