Vektorsko polje

U matematici i fizici vektorsko polje je polje, koje svakoj točki lokalno Euklidskog prostora pridružuje vektorsku veličinu.

Neki od diferencijalnih operatori primjenjivih na vektorsko polje su divergencija i rotacija.

Formalna definicija

Neka je ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ i neka ${\displaystyle X_{0}}$ označava skup svih radij-vektora u koordinatnom sustavu ${\displaystyle \left(O,x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{k}\right);k=\dim D}$, tj.

${\displaystyle X_{0}=\{{\overrightarrow {OM}}|M=(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{k})\in \mathbb {R} ^{n}\}}$.

Kažemo da je funkcija skalarne varijable (kraće: vektorska funkcija ili vektorsko polje) svaka funkcija

${\displaystyle {\overrightarrow {\textbf {W}}}:D\mapsto X_{0}.}$

Drugim riječima, vektorsko polje je prostorna funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor.

Transformacije sustava

Neka je ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ i ${\displaystyle V_{x}:S\mapsto \mathbb {R} ^{n}}$ vektorsko polje u euklidskim koordinatama. Ukoliko je ${\displaystyle Y}$ neki drugi koordinatni sustav na S, tada je izraz za to vektorsko polje u sustavu ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle V_{Y}:={\frac {\partial y}{\partial x}}V_{x}.}$

Napomene

Za V se kaže da je C^k vektorsko polje, ako je ono k puta diferencijabilno.

Jako je važno razlikovati vektorsko i skalarno polje! Što vrijedi za vektore i skalare, isto vrijedi i ovdje: glavna i bitna razlika je u koordinatnim transformacijama: skalar sam po sebi jest koordinata, dok je vektor opisan koordinatama, ali sam po sebi nije kolekcija koordinata. Tako i skalarno polje svakoj točki prostora pridružuje koordinate, a vektorsko vektore.

Primjene

Vektorska polja se najviše primjenjuju u fizici, npr.

• Brzinu vjetra možemo zamisliti kao vektorsko polje u ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$ (!), gdje je svaka točka opisana sa sedam koordinata: ${\displaystyle \left(v_{x},v_{y},v_{z},t,x,y,z\right)}$ (polje je zavisno o vremenu!).
• Brzina protjecanja fluida kroz cijev.
• Opis magnetskog djelovanja.
• Opis električnog djelovanja.
• Gravitacija.

Podjela

Prema divergenciji i rotaciji, vektorska polja dijelimo na:

• Potencijalno ili bezvrtložno:

${\displaystyle {\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}}$

${\displaystyle {\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim tačkama)}}}$

• Solenoidno ili bezizvorno:

${\displaystyle {\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim tačkama)}}}$

${\displaystyle {\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}}$

• Laplaceovo:

${\displaystyle {\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}}$

${\displaystyle {\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}}$

• Polje općeg oblika ili složeno polje:

${\displaystyle {\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim tačkama)}}}$

${\displaystyle {\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim tačkama)}}}$

Povezani pojmovi

• Tok polja
• Divergencija
• Rotacija polja
• Električno polje
• Magnetsko polje
• Elektromagnetsko polje

Vanjske veze

• Skalarna i vektorska polja. Gradijent.
• Skalarna i vektorska polja.
• Wolfram: Vector Fields
• 2D Vector Field Simulation
• 3D Vector Field Simulation