Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija y = e x {\displaystyle y=e^{x}}

Eksponencijalna funkcija jedna je od najvažijih u matematici, izražena kao y = ex gdje je broj e prirodna konstanta i baza prirodnih logritama. Funkcija y = ex je definirana unutar cijelog skupa realnih brojeva, monotono je rastuća porastom nezavisne varijable x, gdje se brzina rasta povećava kako raste x.

Graf funkcije (slika desno) leži iznad x-osi, ali joj se asimptotski približava kako x teži prema sve manjim negativnim vrijednostima. Brzina rasta funkcije je u svakoj točki jednaka vrijednosti funkcije u toj točki. Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je funkcija prirodnog logaritma y = ln(x) te se u starijim izvorima eksponencijalna funkcija spominje kao antilogaritamska funkcija.

Definicija

Eksponencijalna funkcija (plavo) i vrijednost limesa za n=0 do n=8 (crveno).

Eksponencijalna funkcija ex može biti definirana kao niz potencija razvijenih u Taylorov red:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots .}

Eksponencijalna funkcija se može također izraziti i kao limes:

e x = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n . {\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}

Kako n raste, vrijednost limesa izraza se sve više približava vrijednosti ex (slika desno).

Jedinstveno svojstvo eksponencijalne funkcije može se izraziti pomoću jednakosti

e ( x + y ) = e x ⋅ e y {\displaystyle e^{(x+y)}=e^{x}\cdot e^{y}\,}

odnosno napisano drukčije

exp ⁡ ( x + y ) = exp ⁡ ( x ) ⋅ exp ⁡ ( y ) . {\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y).}

Derivacija

Važnost eksponencijalne funkcije u matematici i znanosti potječe uglavnom iz svojstava njezine derivacije koja ima svojstvo da je

d d x e x = e x {\displaystyle \,{d \over dx}e^{x}=e^{x}}

što znači da je funkcija ex ujedno i svoja derivacija. Isto takvo svojstvo imaju i funkcija oblika Kex gdje je K konstanta.

Za sve funkcije takvih svojstava vrijedi da je:

  • strmina, odn. nagib grafa funkcije u svakoj točki jednak vrijednosti funkcije u toj točki,
  • brzina porasta funkcije za vrijednost slobodne varijable x jednaka vrijednosti funkcije u x,
  • eksponencijalna funkcije rješenje diferencijalne jednadžbe y ′ = y.

Štoviše, i drugi oblici diferencijalnih jednadžbi nalaze rješenje u eksponencijalnim funkcijama uključivši Schrödingerovu jednadžbu, Laplaceovu jednadžbu te jednadžbu jednostavnog harmoničkog gibanja.

Eksponencijalna funkcija s realnim brojem a kao bazom

Graf funkcije y=ax za različite baze a: baza10 (zeleno), baza e (crveno), baza 2 (plavo) i baza ½ (cijan). Svaka krivulja prolazi točkom (0,1), a za x=1 vrijednost y funkcije upravo je jednaka bazi.

Katkada se pojam eksponencijalne funkcije koristi općenitije za funkcije oblika

y = a x {\displaystyle y=a^{x}\,}

gdje baza a može biti i bilo koji pozitivni realni broj, a ne nužno broj e.

Za eksponencijalne funkcije s drugim bazama vrijedi da je

d d x a x = ( ln ⁡ a ) a x . {\displaystyle {d \over dx}a^{x}=(\ln a)a^{x}.}

Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravnini

Eksponencijalna funkcija može se definirati i u kompleksnoj ravnini na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija kompleksne varijable može se izraziti u obliku reda potencija gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:

e z = ∑ n = 0 ∞ z n n ! {\displaystyle \,\!\,e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}

Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost

d d z e z = e z {\displaystyle {d \over dz}e^{z}=e^{z}}

vrijedi i u kompleksnoj ravnini.

Razmatrana kao funkcija definirana u kompleksnoj ravnini, eksponencijalna funkcija zadržava svoja osnovna svojstva:

e z + w = e z e w {\displaystyle \,\!\,e^{z+w}=e^{z}e^{w}}
e 0 = 1 {\displaystyle \,\!\,e^{0}=1}
e z ≠ 0 {\displaystyle \,\!\,e^{z}\neq 0}
d d z e z = e z {\displaystyle \,\!\,{d \over dz}e^{z}=e^{z}}

za sve kompleksne brojeve z i w. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog argumenta perioda 2 π i {\displaystyle 2\pi i} jer vrijedi

e a + b i = e a ( cos ⁡ b + i sin ⁡ b ) {\displaystyle \,\!\,e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}

i

e z = e x e y i = e x ( cos ⁡ y + i sin ⁡ y ) = e x cos ⁡ y + i e x sin ⁡ y . {\displaystyle \,e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y.}

gdje su a i b realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s hiperboličkim funkcijama. Štoviše, može se definirati i funkcija oblika ab, gdje su i a i b kompleksne veličine.

Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(z), gdje možemo definirati općenitije da je

z w = e w ln ⁡ z {\displaystyle \,\!\,z^{w}=e^{w\ln z}}

za sve kompleksne brojeve z i w. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ukoliko se uzme u obzir višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata za pozitivne realne brojeve

( e z ) w ≠ e ( z w ) {\displaystyle \,\!\,(e^{z})^{w}\neq e^{\left(zw\right)}}

Literatura

Eksponencijalna funkcija na Wikimedijinoj ostavi
  • Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.
  • Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, 2006.