Singularitate esențială

În analiza complexă o singularitate esențială a unei funcții este o singularitate „severă” lângă care funcția se comportă ciudat.

Categoria singularitate esențială este un „rest” sau un grup implicit de singularități izolate care sunt expres de negestionat: prin definiție, nu se încadrează în niciuna dintre celelalte două categorii de singularitate care pot fi tratate în vreun fel — singularități eliminabile și poli. În practică, unii includ între acestea și anumite singularități neizolate: acelea nu au un reziduu^⁠(d).

Descriere formală

Fie o mulțime deschisă ${\displaystyle U}$ din planul complex ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Fie ${\displaystyle a}$ un element al ${\displaystyle U}$ și ${\displaystyle f\colon U\setminus \{a\}\to \mathbb {C} }$ o funcție olomorfă. Punctul ${\displaystyle a}$ se numește singularitate esențială a funcției ${\displaystyle f}$ dacă singularitatea nu este nici un pol, nici o singularitate eliminabilă.

De exemplu, funcția ${\displaystyle f(z)=e^{1/z}}$ are o singularitate esențială în ${\displaystyle z=0}$.

Descriere alternativă

Fie ${\displaystyle \;a\;}$ un număr complex și se presupune că ${\displaystyle f(z)}$ nu este definită în ${\displaystyle a}$, dar este analitică într-o regiune ${\displaystyle U}$ a planului complex și că fiecare vecinătate deschisă a lui ${\displaystyle a}$ are intersecția cu ${\displaystyle U}$ nevidă.

Dacă atât ${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ cât și ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ există, atunci ${\displaystyle a}$ este o singularitate eliminabilă atât a ${\displaystyle f}$, cât și a ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$.

Dacă ${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ există dar ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ nu există (în realitate ${\displaystyle \lim _{z\to a}|1/f(z)|=\infty }$), atunci ${\displaystyle a}$ este un zero al ${\displaystyle f}$ și un pol al ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$.

Similar, dacă ${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ nu există (în realitate ${\displaystyle \lim _{z\to a}|f(z)|=\infty }$) dar ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ există, atunci ${\displaystyle a}$ este un pol al ${\displaystyle f}$ și un zero al ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$.

Dacă nici ${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$, nici ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ nu există, atunci ${\displaystyle a}$ este o singularitate esențială a ambelor ${\displaystyle f}$ și ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$.

O altă modalitate de a caracteriza o singularitate esențială este aceea că seria Laurent^⁠(d) a lui ${\displaystyle f}$ la punctul ${\displaystyle a}$ are o infinitate de termeni de grad negativ (adică, partea principală din seria Laurent este o sumă infinită). O definiție înrudită este aceea că, dacă există un punct ${\displaystyle a}$ pentru care nicio derivată a lui ${\displaystyle f(z)(z-a)^{n}}$ nu converge către o limită când ${\displaystyle z}$ tinde spre ${\displaystyle a}$, atunci ${\displaystyle a}$ este o singularitate esențială a lui ${\displaystyle f}$.^[1]

Pe sfera Riemann (care are un punct de la infinit), ${\displaystyle \infty _{\mathbb {C} }}$, funcția ${\displaystyle {f(z)}}$ are o singularitate esențială în acel punct dacă și numai dacă ${\displaystyle {f(1/z)}}$ are o singularitate esențială în 0: adică nu există nici ${\displaystyle \lim _{z\to 0}{f(1/z)}}$, nici ${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {1}{f(1/z)}}}$.^[2] Funcția zeta Riemann pe sfera Riemann are o singură singularitate esențială, la ${\displaystyle \infty _{\mathbb {C} }}$.^[3]

Comportarea funcțiilor olomorfe în apropierea singularităților lor esențiale este descrisă de teorema Casorati–Weierstrass și de marea teoremă a lui Picard^⁠(d), considerabil mai puternică. Acesta din urmă spune că în orice vecinătate a unei singularități esențiale, ${\displaystyle a}$, funcția ${\displaystyle f}$ ia orice valoare complexă, cu excepția posibilei uneia, de un număr infinit de ori. (Excepția este necesară; de exemplu, funcția ${\displaystyle \exp(1/z)}$ nu are niciodată valoarea 0.)

Note

Bibliografie

• en Lars V. Ahlfors; Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979
• en Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; Advanced Engineering Mathematics. Page 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN: 1-84265-185-4

Legături externe

• en An Essential Singularity by Stephen Wolfram, Wolfram Demonstrations Project.

Portal Matematică

• en Essential Singularity on Planet Math
• en Eric W. Weisstein, Singularity la MathWorld.