Geometrie algebrică

Geometrie
Proiecția unei sfere pe un plan
Glosar Istorie
Ramuri Euclidiană Neeuclidiană Eliptică Sferică Hiperbolică Nearhimedică Proiectivă Afină Sintetică Analitică Algebrică Aritmetică Diofantică Diferențială Riemanniană Simplectică Diferențială discretă Complexă Finită Discretă/Combinatorică Digitală Convexă Computațională Fractal De incidență
Concepte Caracteristici Dimensiune Construcții cu rigla și compasul Unghi Curbă Diagonală Ortogonalitate (Perpendicularitate) Paralelism Congruență Asemănare Simetrie
Zerodimensional Punct
Unidimensional Dreaptă Segment Lungime
Bidimensional Plan Arie Poligon Triunghi Înălțime Ipotenuză Teorema lui Pitagora Paralelogram Pătrat Dreptunghi Romb Patrulater Romboid Trapez Conică Cerc Circumferință Diametru Rază Disc Elipsă Hiperbolă Parabolă
Tridimensional Volum Cub Cuboid Cilindru Piramidă Bilă Sferă Elipsoid Hiperboloid Paraboloid
Cvadri- și n-dimensional Simplex Hipercub Tesseract Hipersferă
v d m

Geometria algebrică este o ramură a matematicii, care, așa cum numele o sugerează, combină algebra, în special algebra comutativă cu geometria. Geometria algebrică poate fi înțeleasă ca studiul unui grup de soluții al sistemelor de ecuații algebrice. Atunci când există mai mult de o variabilă, considerente de natură geometrică intră "în joc", înțelegerea fenomenului fiind importantă. S-ar putea spune că subiectul abia începe acolo unde rezolvarea ecuațiilor se termină. De asemenea, se poate argumenta că este la fel de importantă găsirea ansamblului tuturor soluțiilor posibile ale unui sistem de ecuații ca și găsirea unei singure soluții. Oricum, aceste considerente conduc la interpretări subtile și de natură filozofică a matematicii, atât conceptual cât și tehnic.

Zero-urile polinoamelor simultane

În geometria algebrică clasică, obiectul esențial al interesului îl reprezintă grupul tuturor punctelor care satisfac simultan una sau mai multe ecuații polinomiale. Spre exemplificare, sfera tridimensională în spațiul euclidian tridimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ poate fi definită ca mulțimea tuturor punctelor ${\displaystyle (x,y,z)}$ care satisfac ecuația:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.\,}$

Astfel, un cerc "înclinat" în ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ poate fi definit ca mulțimea tuturor punctelor ${\displaystyle (x,y,z)}$ care satisfac simultan următoarele două ecuații polinomiale:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0,\,}$

${\displaystyle x+y+z=0.\,}$

Varietăți afine

Spațiul afin peste un corp ${\displaystyle k\,}$ este produsul cartezian ${\displaystyle k^{n}\,}$, unde ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \,}$ denotă dimensiunea spațiului. Punctele lui ${\displaystyle k^{n}\,}$ pot fi exprimate in coordonate ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n})\,}$.

O varietate afină^⁠(d) este o submulțime a lui ${\displaystyle k^{n}\,}$, ale cărei puncte sunt zerourile simultane ale unei colecții de polinoame în ${\displaystyle n\,}$ variabile. Mai exact, dacă ${\displaystyle \{f_{\alpha }(x_{1},...,x_{n})\}\,}$ este o colecție de polinoame, atunci o varietate afină este

${\displaystyle V=\{(x_{1},...,x_{n})|f_{\alpha }(x_{1},...,x_{n})=0,\forall \alpha \}}$.

Dacă punctele unei varietăți ${\displaystyle V\,}$ sunt zerourile unei colecții de polinoame ${\displaystyle \{f_{\alpha }(x_{1},...,x_{n})\}\,}$, atunci ele sunt zerourile oricărui polinom din idealul general de polinoamele ${\displaystyle \{f_{\alpha }(x_{1},...,x_{n})\}\,}$. Acest ideal se notează cu ${\displaystyle I(V)\,}$ și se numește idealul varietății ${\displaystyle V\,}$.

Reciproc, pornind de la un ideal de polinoame ${\displaystyle I\,}$, varietatea punctelor care satisfac simultan toate polinoamele din ${\displaystyle V\,}$ se notează cu ${\displaystyle V(I)\,}$. Relația dintre ideale și varietăți este completată de teorema zerourilor a lui Hilbert^⁠(d) (germană: Nullstellensatz), care afirmă că pentru un ideal de polinoame ${\displaystyle J\,}$,

${\displaystyle I(V(J))={\sqrt {J}}}$,

unde cu ${\displaystyle {\sqrt {J}}\,}$ este notat radicalul lui ${\displaystyle J\,}$. De asemenea, pentru orice varietate ${\displaystyle W\,}$ are loc relația

${\displaystyle V(I(W))=W.\,}$

Varietățile afine sunt chiar mulțimile închise din topologia Zariski^⁠(d).

Funcții regulate

O funcție regulată pe o varietate algebrică ${\displaystyle V\subset k^{n}\,}$ este restricția la ${\displaystyle V\,}$ a unei funcții polinomiale pe ${\displaystyle k^{n}\,}$ (adică a unui polinom in ${\displaystyle n\,}$ variabile cu coeficienți în ${\displaystyle k\,}$). Prin definiție, polinoamele din idealul ${\displaystyle I(V)\,}$ se anulează pe întregul ${\displaystyle V\,}$. De aceea, este mai firesc ca funcțiile regulate pe ${\displaystyle V\,}$ să fie privite modulo ${\displaystyle I(V)\,}$.

Astfel, funcțiile regulate pe ${\displaystyle V\,}$ formează un inel, a cărui definiție formală este

${\displaystyle k[V]:=k[x_{1},...,x_{n}]/I(V).\,}$

De exemplu, dacă ${\displaystyle V=k^{n}\,}$, atunci ${\displaystyle I(V)=(0)\,}$ și astfel ${\displaystyle k[V]=k[x_{1},...,x_{n}]\,}$.

Dacă ${\displaystyle V\,}$ este un singur punct ${\displaystyle (a_{1},...,a_{n})\,}$, atunci ${\displaystyle I(V)=(x_{1}-a_{1},...,x_{n}-a_{n})\,}$ și atunci ${\displaystyle k[V]\cong k}$.

Vezi și

• Geometrie analitică

Bibliografie

A classical textbook, predating schemes:

• W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 1. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46900-7. 
• W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 2. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46901-5. 
• W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46775-6. 

Modern textbooks that do not use the language of schemes:

• Cox, David; Little, John; O'Shea, Don (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms (ed. second edition). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2. Mentenanță CS1: Text în plus (link)
• Phillip Griffiths; Joe Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8. 
• Joe Harris (1995). Algebraic Geometry: A First Course. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97716-3. 
• David Mumford (1995). Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties (ed. 2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-58657-1. Mentenanță CS1: Text în plus (link)
• Miles Reid (1988). Undergraduate Algebraic Geometry. Cambridge University Press. ISBN 0-521-35662-8. 
• Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space (ed. 2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-54812-2. Mentenanță CS1: Text în plus (link)

Textbooks and references for schemes:

• David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98637-5. 
• Alexander Grothendieck (1960). Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS. 
• Alexander Grothendieck (1971). Éléments de géométrie algébrique. 1 (ed. 2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-05113-9. Mentenanță CS1: Text în plus (link)
• Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9. 
• David Mumford (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians (ed. 2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-63293-X. Mentenanță CS1: Text în plus (link)
• Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 0-387-54812-2. 

Legături externe

• Kevin R. Coombes: Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System Arhivat în 10 februarie 2008, la Wayback Machine.
• Algebraic geometry Arhivat în 15 aprilie 2004, la Wayback Machine. entry on PlanetMath
• Algebraic Equations and Systems of Algebraic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations