Triângulo retângulo

Um triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo em que um dos ângulos é reto (ou seja, um ângulo de 90 graus). A relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.

O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa (lado ${\displaystyle c}$ na figura). Os lados adjacentes ao ângulo reto são chamados de catetos. O lado ${\displaystyle a}$ pode ser identificado como o lado adjacente ao ângulo ${\displaystyle {\widehat {B}}}$ e oposto ao ângulo ${\displaystyle {\widehat {A}}}$, enquanto o lado ${\displaystyle b}$ é o lado adjacente ao ângulo ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ e oposto ao ângulo ${\displaystyle {\widehat {B}}}$.

Se os comprimentos dos três lados de um triângulo retângulo são inteiros, o triângulo é considerado um triângulo pitagórico e seus comprimentos laterais são coletivamente conhecidos como um triplo pitagórico.

Principais propriedades

Área

Como em qualquer triângulo, a área é igual à metade da base multiplicada pela altura correspondente. Em um triângulo retângulo, se um cateto é tomado como base, a outro é a altura; portanto, a área de um triângulo retângulo é metade do produto dos dois catetos. Como fórmula, a área ${\displaystyle T}$ é

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}$

onde ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são os catetos do triângulo.

Se o círculo inscrito for tangente à hipotenusa ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ no ponto ${\displaystyle P}$, denotando o semiperímetro ${\displaystyle {(a+b+c) \over 2}}$ como ${\displaystyle s}$, teremos ${\displaystyle PA=s-a}$ e ${\displaystyle PB=s-b}$, e a área será dada por

${\displaystyle T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).}$

Esta fórmula se aplica apenas a triângulos retângulos.^[1]

Alturas

Se uma altura é traçada a partir do vértice com o ângulo reto em relação à hipotenusa, o triângulo é dividido em dois triângulos menores que são semelhantes ao original e, portanto, um ao outro. Disto:

• A altura da hipotenusa é a média geométrica (média proporcional) dos dois segmentos da hipotenusa.^[2]:243
• Cada cateto do triângulo é a média proporcional da hipotenusa e o segmento da hipotenusa adjacente ao cateto.

Em equações,

${\displaystyle \displaystyle f^{2}=de}$ (isso às vezes é conhecido como o teorema da média geométrica)

${\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce}$

${\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd}$

onde ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle f}$ são mostrados no diagrama.^[3] Portanto

${\displaystyle f={\frac {ab}{c}}}$

Além disso, a altura da hipotenusa está relacionada aos catetos do triângulo retângulo por^[4][5]

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}}$

A altitude de um dos catetos coincide com a do outro. Como eles se cruzam no vértice em ângulo reto, o ortocentro do triângulo retângulo — a interseção de suas três alturas — coincide com o vértice em ângulo reto.

Teorema de Pitágoras

Ver artigo principal: Teorema de Pitágoras

O teorema pitagórico afirma que:

Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os dois catetos (os dois lados que se encontram em ângulo reto).

Isso pode ser afirmado na forma de equação como

${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

onde ${\displaystyle c}$ é o comprimento da hipotenusa e ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são os comprimentos dos dois lados restantes.

Os triplos pitagóricos são valores inteiros de ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ que satisfazem esta equação.

Inraio e circunraio

O raio do círculo inscrito em um triângulo retângulo com os catetos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ e hipotenusa ${\displaystyle c}$ é

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}}$

O raio do círculo circunscrito é a metade do comprimento da hipotenusa,

${\displaystyle R={\frac {c}{2}}}$

Assim, a soma do circunraio e do inraio é a metade da soma dos catetos:^[6]

${\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}}$

Um dos catetos pode ser expresso em relação ao inraio e o outro cateto como

${\displaystyle \displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}}$

Caracterizações

Um triângulo ${\displaystyle \Delta ABC}$ com lados ${\displaystyle a\leq b<c}$, semiperímetro ${\displaystyle s}$, área ${\displaystyle T}$, altura ${\displaystyle h}$ oposta ao lado mais longo, circunraio ${\displaystyle R}$, inraio ${\displaystyle r}$, exraio ${\displaystyle r_{a}}$, ${\displaystyle r_{b}}$, ${\displaystyle r_{c}}$ (tangente a ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ respectivamente) e medianas ${\displaystyle m_{a}}$, ${\displaystyle m_{b}}$, ${\displaystyle m_{c}}$ é um triângulo retângulo se, e somente se, alguma das afirmações na as seis categorias a seguir são verdadeiras. Todos eles também são propriedades de um triângulo retângulo, já que caracterizações são equivalências.

Lados e semiperímetro

• ${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Teorema de Pitágoras}})}$
• ${\displaystyle \displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}$
• ${\displaystyle \displaystyle s=2R+r.}$^[7]
• ${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}}$^[8]

Ângulos

• A e B são complementares.^[9]
• ${\displaystyle \displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0}$^[8][10]
• ${\displaystyle \displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2}$^[8][10]
• ${\displaystyle \displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1}$^[10]
• ${\displaystyle \displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}}$

Área

• ${\displaystyle \displaystyle T={\frac {ab}{2}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}$
• ${\displaystyle \displaystyle T=r(2R+r)}$
• ${\displaystyle T=PA\cdot PB}$, onde ${\displaystyle P}$ é o ponto de tangência do incírculo no lado mais longo ${\displaystyle {\overline {AB}}}$.^[11]

Inraio e exraio

• ${\displaystyle \displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
• ${\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.}$^[12]

Altura e medianas

• ${\displaystyle \displaystyle h={\frac {ab}{c}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}}$^{[6]:Prob. 954, p. 26}
• O comprimento de uma mediana é igual ao circunraio.
• A altura mais curta (a do vértice com o maior ângulo) é a média geométrica dos segmentos de reta em que divide o lado oposto (mais longo). Este é o teorema da altura do triângulo retângulo.

Círculo inscrito e circunscrito

• O triângulo pode ser inscrito em um semicírculo, com um lado coincidindo com a totalidade do diâmetro (Teorema de Tales).
• O circuncentro é o ponto médio do lado mais longo.
• O lado mais longo é o diâmetro do círculo circunscrito ${\displaystyle \displaystyle (c=2R).}$
• O circuncírculo é tangente ao círculo de nove pontos.^[8]
• O ortocentro fica no circuncírculo.^[6]
• A distância entre o incentro e o ortocentro é igual a ${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$.^[6]

Referências

Bibliografia

• Weisstein, Eric W. «Right Triangle» (em inglês). MathWorld 
• Wentworth, G.A. (1895). A Text-Book of Geometry. [S.l.]: Ginn & Co. 

Ligações externas

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