Teorema de transporte de Reynolds

O teorema de transporte de Reynolds é o teorema fundamental utilizado na formulação das leis básicas da dinâmica dos fluidos, que são a equação da conservação de massa (ou equação da continuidade), as equações de conservação de quantidade de movimento e a equação de conservação de energia. Na física e na engenharia, essas leis são conhecidas, respectivamente, como: lei da conservação da massa, segunda lei de Newton e leis da Termodinâmica.

O teorema de transporte de Reynolds se refere à taxa de variação de uma propriedade extensiva, N, de um fluido em um volume de controle, que é expressa em termos da derivada material. Seu propósito é fornecer uma ligação entre os conceitos relacionados com os volumes de controles àqueles relacionados com sistemas.^[1]^[2]

Forma geral

{\frac {DN_{sis}}{Dt}}=\int _{vc}^{}{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \eta )dV+\int _{sc}^{}\rho \eta {\vec {\upsilon }}_{s}\cdot {\widehat {n}}dA+\int _{sc}^{}\rho \eta {\vec {\upsilon }}_{f}\cdot {\widehat {n}}dA

onde η é uma propriedade intensiva relacionada com a propriedade extensiva N (N por unidade de massa) por $N=m*\eta$ , t é o tempo, vc se refere ao volume de controle, sc se refere a superfície de controle, ρ é a massa específica do fluido, V é o volume, $\upsilon _{s}$ é a velocidade da superfície de controle, $\upsilon _{f}$ é a velocidade do fluido em relação a superfície de controle, n é o vetor normal ao elemento de área, e A é a área.

Conservação da massa

Um sistema é definido como uma quantidade fixa de material. Assim, o princípio de conservação da massa para um sistema pode ser estabelecido por:

{\frac {DM_{sis}}{Dt}}=0

A massa do sistema pode ser representada por:

M_{sis}=\int _{sis}\rho d\upsilon

Onde N foi substituído pela massa. No caso η é igual a 1.

0=\;\int _{c.v.}^{}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV+\int _{c.s.}^{}\rho {\vec {v}}_{b}\cdot {\widehat {n}}\;dA+\int _{c.s.}^{}\rho {\vec {v}}_{r}\cdot {\widehat {n}}\;dA

Todas as variáveis são definidas em sua formulação geral. M é igual a massa total do volume de controle. Aplicando o princípio de conservação da massa, o lado esquerdo da equação geral se reduz a 0, uma vez que a massa do sistema não varia no tempo. Em sistemas operando em regime permanente, o primeiro termo do lado direito da equação se reduz a zero, i.e. a massa do volume de controle não muda, o que implica que a massa que entra no volume de controle à igual a massa que sai.

Equação do movimento

A equação do movimento é obtida substituindo N pela quantidade de movimento. Para tanto, η é definido como sendo a velocidade.

De acordo com a segunda lei de Newton, relembramos que a força é a variação temporal da quantidade de movimento. Então:

\sum _{}{\vec {F}}=\int _{c.v.}^{}{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho {\vec {\upsilon }})dV+\int _{c.s.}^{}\rho {\vec {\upsilon }}({\vec {\upsilon }}_{b}\cdot {\widehat {n}})dA+\int _{c.s.}^{}\rho {\vec {\upsilon }}({\vec {\upsilon }}_{r}\cdot {\widehat {n}})dA,

onde F é a força, $\upsilon$ é a velocidade do fluido no sistema de coordenadas em que está a superfície de controle e todas as outras variáveis já foram definidas na formulação geral. Note que trata-se de uma equação vetorial.

Equação da energia

A equação da energia pode ser obtida substituindo N pela energia. Pra isso, η é definido como sendo a energia por unidade de massa.

{\dot {Q}}-\sum {}{\dot {W}}=\int _{c.v.}^{}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left({\frac {\upsilon ^{2}}{2}}+gz+{\tilde {u}}\right)\right]dV+\int _{c.s.}^{}\left[{\frac {\upsilon ^{2}}{2}}+gz+{\tilde {u}}+{\frac {p}{\rho }}\ \right]\rho {\vec {\upsilon }}_{b}\cdot {\widehat {n}}dA+\int _{c.s.}^{}\left[{\frac {\upsilon ^{2}}{2}}+gz+{\tilde {u}}+{\frac {p}{\rho }}\ \right]\rho {\vec {\upsilon }}_{r}\cdot {\widehat {n}}dA

onde Q é o calor adicionado ao volume de controle, W é o trabalho mecânico realizado pelo sistema, g é a aceleração devido à gravidade, z é uma distancia vertical arbitrária, ${\tilde {u}}$ é a energia interna específica do fluido, p é a pressão. Todas as outras variáveis já foram definidas na formulação geral.

Note que a equação não faz nenhuma consideração a reações químicas ou energia potencial associada a campos eletromagnéticos.

Volume de controle fixo

Para o caso particular de um volume de controle fixo, $\upsilon _{s}=0$ temos que:

${\frac {DN_{sis}}{Dt}}=\int _{vc}^{}{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \eta )dV+\int _{sc}^{}\rho \eta {\vec {\upsilon }}_{f}\cdot {\widehat {n}}dA$

Escoamento em regime permanente

No caso de regime permanente e volume fixo temos:

{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{vc}(\rho \eta )dV=0

Então

{\frac {DN_{sis}}{Dt}}=\int _{sc}(\rho \eta ){\vec {\upsilon }}_{f}\cdot {\widehat {n}}dA

Para que exista variação da quantidade de $N_{sis}$ associada ao sistema é necessário existir uma diferença entre a taxa com que $N$ é transportada para dentro do volume de controle e a taxa com que $N$ é transportada para fora do volume de controle.

O lado direito da equação representa a vazão líquida da propriedade no volume de controle. Se N representa a massa, $\eta =1$ , então

\int _{sc}(\rho ){\vec {\upsilon }}_{f}\cdot {\widehat {n}}dA=\sum {\dot {m_{e}}}-\sum {\dot {m_{s}}}

onde ${\dot {m}}$ é a vazão em massa (kg/s). Note que existe uma taxa de transferência de massa para fora do volume de controle se a integral do lado esquerdo for positiva. Se, no entanto, o valor da integral for negativo a taxa de transferência de massa ocorre para dentro do volume de controle.

Finalmente escrevemos:

{\frac {DM_{vc}}{Dt}}=\sum {\dot {m_{e}}}-\sum {\dot {m_{s}}}

Referências

↑ White, Frank M., Fluid Mechanics, 5th ed. - Ed. McGraw-Hill.
↑ Streeter, Victor L. e Wylie, E. Benjamin; Mecânica dos Fluidos; Ed. McGraw-Hill, 1978.