Raiz da unidade

Raízes cúbicas da unidade no plano complexo		Raízes quintas da unidade no plano complexo

Em matemática, as raízes n-ésimas da unidade, ou números de de Moivre^[1], são todos os números complexos que resultam 1 quando são elevados a n. Raízes da unidade são usadas em muitas áreas da matemática, sendo especialmente importantes para a teoria dos números, para a representação de caráter em teoria dos grupos, e para a transformada discreta de Fourier. Pode-se demonstrar que estão localizados no círculo unitário do plano complexo e que nesse plano formam os vértices de um polígono regular de n lados com um vértice sobre 1.

Uma raiz n-ésima da unidade é chamada de primitiva (ou seja, uma raiz primitiva n-ésima da unidade) quando ela não é também uma raiz m-ésima da unidade para m < n. Por exemplo, i é uma raiz quarta e raiz oitava da unidade, mas é apenas uma raiz quarta primitiva da unidade.

Definição

Diz-se que uma raiz n-ésima da unidade, onde n é um inteiro positivo (n = 1, 2, 3, …), é um número complexo z que satisfaça a equação

${\displaystyle z^{n}=1}$,

que, pelo teorema fundamental da álgebra, possui ${\displaystyle n}$ raízes no conjunto ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dos números complexos.^[2]

Soluções

Uma das soluções sempre será o número ${\displaystyle 1}$, já que ${\displaystyle 1^{n}=1}$ para qualquer ${\displaystyle n}$ inteiro positivo. As demais soluções podem ser obtidas reescrevendo o número ${\displaystyle 1}$ de forma conveniente através da fórmula de Euler:

${\displaystyle e^{ix}=\cos \left(x\right)+{\text{i}}\,\operatorname {sen} \left(x\right).}$

Substituindo-se ${\displaystyle x=2\pi \mathrm {k} }$, onde ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ obtém-se:

${\displaystyle e^{{\text{i}}(2\pi \mathrm {k} )}=\cos \left(2\pi \mathrm {k} \right)+{\text{i}}\,\operatorname {sen} \left(2\pi \mathrm {k} \right)=1}$

Implicando que o número ${\displaystyle 1}$ pode ser escrito da seguinte forma:

${\displaystyle 1=e^{2\pi \mathrm {i} k}}$

Resolve-se, então, a equação que define as raízes da unidade:

${\displaystyle z^{n}=1\implies z=1^{1 \over n}=(e^{2\pi \mathrm {i} k})^{1 \over n}=e^{2\pi \mathrm {i} k \over n}}$

Então ${\displaystyle z}$ pode ser escrito como:

${\displaystyle z=\cos \left({2\pi \mathrm {k} \over n}\right)+{\text{i}}\,\operatorname {sen} \left({2\pi \mathrm {k} \over n}\right)}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

A princípio, tal expressão aponta para um número infinito de soluções. No entanto, dado a periodicidade das funções seno e cosseno, há mais de um ${\displaystyle k}$ associado a uma mesma raiz. De fato, há infinitos ${\displaystyle k'}$ associados a um mesmo valor de ${\displaystyle z}$ que seja dado por um valor principal ${\displaystyle k}$. A relação de congruência entre ${\displaystyle k'}$ e ${\displaystyle k}$ é, por análise:

${\displaystyle k'\equiv k{\pmod {n}}.}$

Desse modo, a solução resume-se a ${\displaystyle n}$ raízes para ${\displaystyle z}$, dadas por:

${\displaystyle z_{k+1}=\cos \left({2\pi \mathrm {k} \over n}\right)+{\text{i}}\,\operatorname {sen} \left({2\pi \mathrm {k} \over n}\right),}$

${\displaystyle k=0,1,2,...,n-1}$

Propriedades aritméticas

Soma das raízes

A soma das raízes da unidade é igual a ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \forall \,n\geqslant 2}$. Uma maneira de provar isso, é utilizando a soma de uma progressão geométrica.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi {\text{i}}k \over n}}$ ${\displaystyle =e^{2\pi {\text{i}}.(0) \over n}+e^{2\pi {\text{i}}.(1) \over n}+\cdots +e^{2\pi {\text{i}}.(n-1) \over n}}$ ${\displaystyle =\underbrace {e^{2\pi {\text{i}}\cdot (0)/n}} _{1}\cdot {\cfrac {\overbrace {e^{2\pi {\text{i}}\cdot (n)/n}} ^{1}-1}{e^{2\pi {\text{i}}/n}-1}}}$ ${\displaystyle =0}$

Outra maneira de provar essa propriedade, é considerar as relações de Girard. Observando o polinômio ${\displaystyle z^{n}+0.z^{n-1}-1=0}$ , é fácil notar que a soma das raízes é igual a ${\displaystyle 0}$.

Produto das Raízes

Através das relações de Girard, pode-se deduzir que o produto das raízes é ${\displaystyle 1}$ para ${\displaystyle n}$ ímpar e ${\displaystyle -1}$ para ${\displaystyle n}$ par.

Equação Ciclotômica

Ver artigos principais: Equação ciclotômica e Corpo ciclotômico

Teorema de Gauss-Wantzel

Carl Friedrich Gauss demonstrou que o problema de resolver a equação ${\displaystyle x^{p}=1}$, também denominada ciclotômica, pode ser reduzido a resolver uma série de equações quadráticas, para quando ${\displaystyle p}$ for um primo de Fermat, isto é, para quando for um primo e puder ser escrito como ${\displaystyle p=2^{2^{n}}+1}$, onde ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Pierre Laurent Wantzel provou posteriormente, em 1836, que tal condição não só é suficiente, mas necessária.^[3]

O teorema de Gauss-Wantzel possui um importante valor histórico por promover uma ligação entre análise complexa e geometria euclidiana, visto que implica na especificação de quais polígonos são construtíveis a partir de régua e compasso, problema milenar enfrentado pelos matemáticos desde a Grécia antiga. Nesse contexto, ele prova que o polígono de 17 lados, o heptadecágono, é construtível pelo número de lados ser um primo de Fermat, contrastando com polígonos menores como o heptágono e o eneágono, que não são construtíveis.

Referências

Bibliografia

• Lang, Serge (2002). Algebra, 3rd revised edition. Nova York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X.

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