Raio de convergência

Na teoria das Séries de Taylor, o raio de convergência pode ser zero, um número positivo ou ainda infinito. Indica o raio da circunferência em torno do centro da série de Taylor dentro da qual a série converge.

No caso das séries reais, pode-se garantir a convergência no intervalo aberto ( a − R , a + R ) {\displaystyle (a-R,a+R)\,} , onde a {\displaystyle a\,} é centro da série e R {\displaystyle R\,} é o raio de convergência. Nada se pode afirmar sobre a convergência nos extremos do intervalo. e No caso das séries complexas, pode-se garantir que a série convirja na bola aberta | x − a | < R {\displaystyle |x-a|<R\,} . Mais uma vez, nada se pode afirmar sobre a circunferência | x − a | = R {\displaystyle |x-a|=R\,}

A fórmula de Hadamard permite obter o valor do raio de convergência:

R − 1 = lim sup n → ∞ | a n | 1 / n {\displaystyle R^{-1}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}\,} , onde a n {\displaystyle a_{n}\,} são os coeficientes da série:
∑ n = 0 ∞ a n ( z − a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}\,}

Existe um forma alternativa que é: R = lim n → ∞ | a n a n + 1 | {\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|\,} , quando este limite existe.

Exemplos

As séries a seguir todas possuem o mesmo raio de convergência ( R = 1 ) {\displaystyle \left(R=1\right)\,} .

  • f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ z n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\,}
  • g ( z ) = ∑ n = 0 ∞ z n n {\displaystyle g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}\,}
  • h ( z ) = ∑ n = 0 ∞ z n n 2 {\displaystyle h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}\,}

A convergência na circunferência R = 1 {\displaystyle R=1\,} , no entanto, é diferente para cada caso:

  • f ( z ) {\displaystyle f(z)\,} não converge para nenhum z de módulo unitário pelo teste do termo geral.
  • g ( z ) {\displaystyle g(z)\,} não converge para z = 1, pois recai na série harmônica que diverge. E converge para todo z ≠ 1 {\displaystyle z\neq 1\,} de módulo unitário pelo teste de Abel.
  • h ( z ) {\displaystyle h(z)\,} converge para todo z de módulo unitário, por comparação com a série numérica ∑ n = 0 ∞ 1 n 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\,} .

Uma série pode ter raio de convergência nulo:

  • f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ n ! z n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }n!z^{n}\,}

Esta série não pode convegir para nenhum z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0\,} pelo teste do termo geral, convergindo apenas para z = 0 {\displaystyle z=0\,}

Uma série pode ter raio de convergência infinito:

  • f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ z n n ! {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,}

Neste caso, a série converge para todo z.

A fórmula de Hadamard

A fórmula da Hadarmad fornece o raio de convergência:

R − 1 = lim sup n → ∞ | a n | 1 / n {\displaystyle R^{-1}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}\,}

Quando o limite à direita for infinito, o raio é nulo. Quando o limite for nulo, o raio é infinito.

O teorema da fórmula de Hadamard, afirma que a série converge uniformemente e absolutamente em cada bola | Z − a | ≤ r < R {\displaystyle |Z-a|\leq r<R\,} . Afirma ainda que a série não converge para nenhum ponto Z {\displaystyle Z\,} tal que | Z − a | > R {\displaystyle |Z-a|>R\,} .

Para mostrar a primeira parte, escolha r < R {\displaystyle r<R\,} . Escolha um ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0\,} tal que R − 1 + ε < ρ − 1 < r − 1 {\displaystyle R^{-1}+\varepsilon <\rho ^{-1}<r^{-1}\,}

Da definição de limite superior temos:

| a n | 1 / n < R − 1 + ε < ρ − 1 ,     n > N {\displaystyle |a_{n}|^{1/n}<R^{-1}+\varepsilon <\rho ^{-1},~~n>N\,} para algum N {\displaystyle N\,}

Agora podemos estimar os termos da série:

| a n ( Z − a ) n | ≤ ρ − n r n = ( ρ r ) − n ,     n > N {\displaystyle |a_{n}(Z-a)^{n}|\leq \rho ^{-n}r^{n}=\left({\frac {\rho }{r}}\right)^{-n},~~n>N\,}

E temos a convergência uniforme pelo teste M de Weierstrass, comparando com a série numérica M n = ( ρ r ) − n {\displaystyle M_{n}=\left({\frac {\rho }{r}}\right)^{-n}\,} que é convergente.

Agora escolha um Z {\displaystyle Z\,} tal que | Z − a | > R {\displaystyle |Z-a|>R\,} . Escolha ε {\displaystyle \varepsilon \,} tal que R − 1 − ε > | Z − a | − 1 {\displaystyle R^{-1}-\varepsilon >|Z-a|^{-1}\,} , da definição de limite superior, temos a existência de uma subseqüência { a n k } k = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty }\,} tal que:

| a n k | 1 / n k > R − 1 − ε > | Z − a | − 1 {\displaystyle |a_{n_{k}}|^{1/{n_{k}}}>R^{-1}-\varepsilon >|Z-a|^{-1}\,}

Assim a o termo a n k | Z − a | n k {\displaystyle a_{n_{k}}|Z-a|^{n_{k}}\,} não converge a zero e portanto a série não converge pelo teste do termo geral.

Ver também