Forma bilinear

Em matemática, sobretudo na álgebra linear e na análise funcional, uma forma bilinear definida em um espaço vetorial (sobre um corpo K {\displaystyle K\,} ) V {\displaystyle V\,} é uma função B : V × V → K {\displaystyle B:V\times V\to K\,} linear em ambas as variáveis.

1.  B ( u + u ′ , v ) = B ( u , v ) + B ( u ′ , v ) , 2.  B ( u , v + v ′ ) = B ( u , v ) + B ( u , v ′ ) , 3.  B ( λ u , v ) = B ( u , λ v ) = λ B ( u , v ) . {\displaystyle {\begin{array}{l}{\text{1. }}B(u+u',v)=B(u,v)+B(u',v){\text{,}}\\[4pt]{\text{2. }}B(u,v+v')=B(u,v)+B(u,v'){\text{,}}\\[4pt]{\text{3. }}B(\lambda u,v)=B(u,\lambda v)=\lambda \,B(u,v){\text{.}}\\[4pt]\end{array}}}

Uma forma bilinear em Fn pode ser escrita como:

B ( x , y ) = x T A y = ∑ i , j = 1 n a i j x i y j {\displaystyle B({\textbf {x}},{\textbf {y}})={\textbf {x}}^{\mathrm {T} }A{\textbf {y}}=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j}}

onde A é uma matriz de dimensões n x n.

Propriedades

Existem três casos importantes de formas bilineares:

  • simétricas: quando B(u, v) = B(v, u) para todo u, v.
  • alternadas: quando B(v, v) = 0 para todo v.
  • anti-simétrica: quando B(u, v) = - B(v, u) para todo u, v.

Alternada implica anti-simétrica.

Currying

Usando o que em informática chama-se currying, pode-se interpretar toda função de duas variáveis como uma função de uma variável, cujo resultado é uma função.

Ou seja, uma forma bilinear B pode ser interpretada como B 1 ∈ L ( V , L ( V , K ) ) {\displaystyle B_{1}\in L(V,L(V,K))\,} , ou seja:

B 1 : V → L ( V , K ) {\displaystyle B_{1}:V\to L(V,K)\,} é uma função linear, definida por
( B 1 ( v ) ) ( w ) = B ( v , w ) {\displaystyle (B_{1}(v))(w)=B(v,w)\,}

Em outras palavras, B1 é uma transformação linear de V para o espaço dual V*

Ver também