Fórmula quadrática

A função quadrática y = 1 2 x 2 5 2 x + 2 {\displaystyle y={\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {5}{2}}x+2} , com raízes x = 1 {\displaystyle x=1} e x = 4 {\displaystyle x=4} .

Em álgebra, a fórmula quadrática, também conhecida como fórmula de Bhaskara no Brasil,[1] é uma fórmula que fornece a solução de uma equação do 2º grau (ou equação quadrática). Existem outras formas de resolver uma equação quadrática, como fatoração, completamento de quadrados, pelo gráfico da função e outras.

Dada uma equação quadrática geral no formato:

a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}

cujo discriminante b 2 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} é positivo (onde x {\displaystyle x} representa um valor desconhecido, a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} e c {\displaystyle c} representam constantes, sendo a 0 {\displaystyle a\neq 0} ), a fórmula quadrática é:

x = b ± b 2 4 a c 2 a     {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ }

na qual o sinal de mais ou menos "±" indica que a equação quadrática tem duas soluções.[2] Quando escritas separadamente, estas são:

x 1 = b + b 2 4 a c 2 a e x 2 = b b 2 4 a c 2 a {\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{e}}\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

Cada uma dessas duas soluções é chamada de raiz (ou zero) da equação quadrática. Geometricamente, essas raízes representam os valores de x {\displaystyle x} em que qualquer parábola, descrita como y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} , cruza o eixo x {\displaystyle x} .[3]

Além de ser uma fórmula que fornece as raízes de qualquer parábola, a fórmula quadrática também pode ser usada para identificar o eixo de simetria da mesma parábola,[4] e o número de raízes reais que uma equação quadrática contém.[5]

Embora no Brasil seja comumente atribuída a Bhaskara II, uma variante da fórmula que fornece a raiz real de uma equação quadrática já havia sido descoberta séculos antes do nascimento de Bhaskara, pelo matemático indiano Brahmagupta.[6] Em partes da Alemanha e da Suíça, a fórmula é coloquialmente conhecida como a "fórmula da meia-noite", porque os alunos devem ser capazes de recitá-la mesmo que sejam acordados à meia-noite.[7]

Formulações equivalentes

Quando o discriminante b 2 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} é positivo, a fórmula quadrática também pode ser escrita no formato

x = b 2 a ± b 2 4 a c 4 a 2   , {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\ ,}

que pode ser simplificado para

x = b 2 a ± ( b 2 a ) 2 c a   . {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\ .}

Essa versão da fórmula facilita a descoberta das raízes quando se usa uma calculadora.

Quando o discriminante b 2 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} é negativo, raízes complexas estão envolvidas. Nesse caso, a fórmula quadrática acima pode ser descrita com a seguinte expressão (na qual a expressão fora da raíz quadrada é a parte real e a contida na raíz é a parte imaginária):

x =   b 2 a ± i | (   b 2 a ) 2 c a |   . {\displaystyle x=-{\frac {\ b}{2a}}\pm i{\sqrt {\left|\left({\frac {\ b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}\right|}}\ .}

Método de Muller

Uma fórmula quadrática menos conhecida, que é utilizada no Método de Muller e que pode ser encontrada pelas Fórmulas de Vieta, fornece (assumindo a 0 {\displaystyle a\neq 0} , c 0 {\displaystyle c\neq 0} ) as mesmas raízes pela equação:

x = 2 c b ± b 2 4 a c = 2 c b b 2 4 a c     . {\displaystyle x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}\ .}

Formulações baseadas em parametrizações alternativas

A parametrização padrão da equação quadrática é

a x 2 + b x + c = 0   . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\ .}

Algumas fontes, particularmente as mais velhas, usam parametrizações da equação quadrática como

a x 2 2 b 1 x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}-2b_{1}x+c=0} , onde b 1 = b / 2 {\displaystyle b_{1}=-b/2} ,

ou

a x 2 + 2 b 2 x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+2b_{2}x+c=0} , onde b 2 = b / 2 {\displaystyle b_{2}=b/2} .[8]

Essas parametrizações resultam em formas levemente diferentes para a solução, mas que são equivalentes à parametrização padrão.

Usando a técnica de 'completar o quadrado'

Método padrão

Divida a equação quadrática por a {\displaystyle a} , que é permitido porque a 0 {\displaystyle a\neq 0} :

x 2 + b a x + c a = 0     . {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\ \ .}

Subtraia c a {\displaystyle {\frac {c}{a}}} dos dois lados da equação, o que resulta em:

x 2 + b a x = c a     . {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}\ \ .}

A equação quadrática agora está em um formato em que a técnica de completar o quadrado é aplicável. Adicionando uma constante a ambos os lados da equação de tal forma que o lado esquerdo da equação se torne um quadrado perfeito, a equação quadrática se torna:

x 2 + b a x + ( b 2 a ) 2 = c a + ( b 2 a ) 2     , {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\ \ ,}

o que produz:

( x + b 2 a ) 2 = c a + b 2 4 a 2     . {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\ \ .}

Assim, após reorganizar os termos do lado direito da equação para terem um denominador comum, nós obtemos:

( x + b 2 a ) 2 = b 2 4 a c 4 a 2     . {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\ \ .}

Desta maneira, completamos o quadrado. Se o discriminante b 2 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} é positivo, podemos extrair a raiz quadrada de ambos os lados, resultando na seguinte equação:

x + b 2 a = ± b 2 4 a c   2 a     . {\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}\ \ .}

Nesse caso, isolar a variável x {\displaystyle x} nos fornece a fórmula quadrática:

x = b ± b 2 4 a c   2 a     . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\ \ .}

Existem múltiplas variações dessa derivação com diferenças mínimas, principalmente em relação à manipulação da constante a {\displaystyle a} .

Método mais curto

Também é possível completar o quadrado com uma sequência mais curta, e muitas vezes mais simples:[9]

  1. Multiplique cada lado por 4 a {\displaystyle 4a} ,
  2. Reorganize.
  3. Adicione b 2 {\displaystyle b^{2}} a ambos os lados para completar o quadrado.
  4. O lado esquerdo é a expansão do polinômio ( 2 a x + b ) 2 {\displaystyle (2ax+b)^{2}} .
  5. Extraia a raiz quadrada de ambos os lado.
  6. Isole x {\displaystyle x} .

Nesse caso, a fórmula quadrática é derivada da seguinte forma:

a x 2 + b x + c = 0 4 a 2 x 2 + 4 a b x + 4 a c = 0 4 a 2 x 2 + 4 a b x = 4 a c 4 a 2 x 2 + 4 a b x + b 2 = b 2 4 a c ( 2 a x + b ) 2 = b 2 4 a c 2 a x + b = ± b 2 4 a c  (válido se  b 2 4 a c  é positivo) 2 a x = b ± b 2 4 a c x = b ± b 2 4 a c 2 a     . {\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx+4ac&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx&=-4ac\\4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}&=b^{2}-4ac\\(2ax+b)^{2}&=b^{2}-4ac\\2ax+b&=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\text{ (válido se }}b^{2}-4ac{\text{ é positivo)}}\\\\2ax&=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .\end{aligned}}}

Essa derivação da fórmula quadrática é extremamente antiga e era conhecida na Índia pelo menos desde 1025.[10] Comparada à derivação em uso padrão, essa derivação alternativa evita frações até o último passo e portanto não requer uma reorganização após o terceiro passo para obter um denominador comum no lado direito.[9]

Por substituição

Outra técnica é a solução por substituição. Nessa técnica, nós substituímos x = p + q {\displaystyle x=p+q} na equação quadrática para obtermos:

a ( p + q ) 2 + b ( p + q ) + c = 0     . {\displaystyle a(p+q)^{2}+b(p+q)+c=0\ \ .}

Expandindo o resultado e agrupando as potências de p {\displaystyle p} obtemos:

a p 2 + p ( 2 a q + b ) + ( a q 2 + b q + c ) = 0     . {\displaystyle ap^{2}+p(2aq+b)+\left(aq^{2}+bq+c\right)=0\ \ .}

Ainda não impusemos uma segunda condição em p {\displaystyle p} e q {\displaystyle q} , então escolheremos um q {\displaystyle q} para que o termo do meio desapareça. Ou seja, 2 a q + b = 0 {\displaystyle 2aq+b=0} ou q = b 2 a {\displaystyle \textstyle q={\frac {-b}{2a}}} .

a p 2 + p (       0     ) + ( a q 2 + b q + c ) = 0     . {\displaystyle ap^{2}+p(\ \ \ 0\ \ )+\left(aq^{2}+bq+c\right)=0\ \ .}
a p 2 +                                   ( a q 2 + b q + c ) = 0     . {\displaystyle ap^{2}+\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(aq^{2}+bq+c\right)=0\ \ .}

Subtraindo o termo constante de ambos os lados da equação (para movê-lo para o lado direito) e então dividindo por a {\displaystyle a} temos:

p 2 = ( a q 2 + b q + c ) a     . {\displaystyle p^{2}={\frac {-\left(aq^{2}+bq+c\right)}{a}}\ \ .}

Substituindo m {\displaystyle m} temos:

p 2 = ( b 2 4 a + b 2 2 a + c ) a = b 2 4 a c 4 a 2     . {\displaystyle p^{2}={\frac {-\left({\frac {b^{2}}{4a}}+{\frac {-b^{2}}{2a}}+c\right)}{a}}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\ \ .}

Portanto, contanto que o discriminante b 2 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} seja positivo,

p = ± b 2 4 a c 2 a {\displaystyle p=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}}

Expressando novamente p {\displaystyle p} em termos de x {\displaystyle x} usando a fórmula x = p + q = p b 2 a {\displaystyle \textstyle x=p+q=p-{\frac {b}{2a}}} , A fórmula quadrática conhecida pode ser obtida:

x = b ± b 2 4 a c 2 a     . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .}

Usando identidades algébricas

O método a seguir foi usada por muitos matemáticos ao longo da história:[11]

Sejam r1 e r2 as raízes da equação quadrática padrão. A derivação começa ao lembrarmos da identidade:

( r 1 r 2 ) 2 = ( r 1 + r 2 ) 2 4 r 1 r 2     . {\displaystyle (r_{1}-r_{2})^{2}=(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}\ \ .}

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, temos:

r 1 r 2 = ± ( r 1 + r 2 ) 2 4 r 1 r 2     . {\displaystyle r_{1}-r_{2}=\pm {\sqrt {(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}}}\ \ .}

Sabendo que a ≠ 0, podemos dividir a equação padrão por a para obter um polinômio quadrático com as mesmas raízes. Isto é,

x 2 + b a x + c a = ( x r 1 ) ( x r 2 ) = x 2 ( r 1 + r 2 ) x + r 1 r 2     . {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=(x-r_{1})(x-r_{2})=x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+r_{1}r_{2}\ \ .}

Podemos então perceber que a soma das raízes da equação quadrática padrão é dada por b a {\displaystyle -{\frac {b}{a}}} , e o produto destas raízes é dado por c a {\displaystyle {\frac {c}{a}}} . Com isso em mente, podemos reescrever a identidade da seguinte forma:

r 1 r 2 = ± ( b a ) 2 4 c a = ± b 2 a 2 4 a c a 2 = ± b 2 4 a c a     . {\displaystyle r_{1}-r_{2}=\pm {\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-4{\frac {c}{a}}}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}\ \ .}

O que leva a,

r 1 = ( r 1 + r 2 ) + ( r 1 r 2 ) 2 = b a ± b 2 4 a c a 2 = b ± b 2 4 a c 2 a     . {\displaystyle r_{1}={\frac {(r_{1}+r_{2})+(r_{1}-r_{2})}{2}}={\frac {-{\frac {b}{a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}}{2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .}

Já que r 2 = r 1 b a {\displaystyle r_{2}=-r_{1}-{\frac {b}{a}}} , se usarmos

r 1 = b + b 2 4 a c 2 a {\displaystyle r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

então obtemos

r 2 = b b 2 4 a c 2 a     ; {\displaystyle r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ ;}

e se ao invés disso usarmos

r 1 = b b 2 4 a c 2 a {\displaystyle r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

então podemos calcular que

r 2 = b + b 2 4 a c 2 a     . {\displaystyle r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .}

Combinando esses resultados usando a abreviação ±, temos que as soluções da equação quadrática são:

x = b ± b 2 4 a c 2 a     . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .}

Desenvolvimento histórico

Os primeiros métodos para resolver equações quadráticas eram geométricos. Tabletes cuneiforme babilônios continham problemas reduzíveis a resoluções de equações quadráticas.[12] O Papiro de Berlim egípcio, que remonta ao Império Médio (2050 a.C até 1710 a.C), contém a solução para uma equação quadrática de dois termos.[13]

O matemático grego Euclides (c. 300 a.C) usou métodos geométricos para resolver equações quadráticas no Livro 2 de seu tratado matemático Elementos.[12] Regras para equações quadráticas aparecem no livro chinês Os nove capítulos da arte matemática (c. 200 a.C).[10] Em seu tratado Arithmetica, o matemático grego Diofanto (c. 250 d.C) resolveu equações quadráticas com um método mais reconhecível como algébrico quando comparado à álgebra geométrica de Euclides.[12] Sua solução só fornecia uma raiz, mesmo em casos com duas raízes positivas.[10]

O matemático indiano Brahmagupta (597668) descreveu explicitamente a fórmula quadrática em seu tratado Brāhmasphuṭasiddhānta,[14] publicado em 628 d.C., mas escrito em palavras em vez de símbolos.[15] Sua solução da equação quadrática ax2 + bx = c foi a seguinte: "Ao número absoluto multiplicado por quatro vezes o [coeficiente do] quadrado, adicione o quadrado do [coeficiente do] termo médio; a raiz quadrada do mesmo, menos o [coeficiente do] termo médio, sendo dividido por duas vezes o [coeficiente do] quadrado é o valor."[16] Isso é equivalente a:

x = 4 a c + b 2 b 2 a     . {\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}\ \ .}

O autor do método empregado por Bhaskara Akaria, para resolução das equações quadráticas, foi provavelmente o matemático indiano Sridhara [en] (870-930 d.C.),[17] que apresentou um algoritmo para resolver equações quadráticas, embora não haja indicação de que ele tenha considerado ambas as raízes.[18] A fórmula, por vezes chamada "fórmula de Bhaskara", veio com um matemático francês, François Viète (1540-1603), que deu à fórmula geral, um tratamento algébrico mais formal.

Referências

  1. «Fórmula de Bhaskara». Mundo Educação. Consultado em 3 de julho de 2022 
  2. Sterling, Mary Jane (2010). Algebra I for dummies 2nd ed. Hoboken, NJ: Wiley Pub., Inc. OCLC 647823361 
  3. «Understanding the quadratic formula». Khan Academy. Consultado em 3 de julho de 2022 
  4. «Axis of Symmetry of a Parabola. How to find axis from equation or from a graph. To find the axis of symmetry ...». www.mathwarehouse.com. Consultado em 3 de julho de 2022 
  5. «Discriminant review (article)». Khan Academy (em inglês). Consultado em 3 de julho de 2022 
  6. Stillwell, John (2002). Mathematics and its history 2nd ed. New York: Springer. OCLC 47221914 
  7. Guido Walz: Gleichungen und Ungleichungen: Klartext für Nichtmathematiker. Springer, 2018, ISBN 9783658216696, S. 14.
  8. «Solution to Quadratic Equation - ProofWiki». www.proofwiki.org. Consultado em 3 de julho de 2022 
  9. a b Hoehn, Larry (maio de 1975). «A More Elegant Method of Deriving the Quadratic Formula». The Mathematics Teacher (5): 442–443. ISSN 0025-5769. doi:10.5951/MT.68.5.0442. Consultado em 3 de julho de 2022 
  10. a b c Smith, David Eugene (1958). History of mathematics. New York: [s.n.] OCLC 523289 
  11. Debnath, Lokenath (2009). «The legacy of Leonhard Euler – a tricentennial tribute». International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 40 (3): 353–388. doi:10.1080/00207390802642237 
  12. a b c Irving, Ronald S. (2013). Beyond the quadratic formula. Mathematical Association of America. [Washington, D.C.]: [s.n.] OCLC 851387558 
  13. The Cambridge ancient history. I. E. S. Edwards, C. J. Gadd, N. G. L. Hammond, John Boardman, David M. Lewis, F. W. Walbank Thirdition ed. Cambridge [England]: [s.n.] 2005 [1970]. OCLC 121060 
  14. Bradley, Michael. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300, p. 86 (Infobase Publishing 2006).
  15. Mackenzie, Dana. The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations, p. 61 (Princeton University Press, 2012).
  16. Stillwell, John (2004). Mathematics and Its History (2nd ed.). [S.l.]: Springer. p. 87. ISBN 0-387-95336-1 
  17. Sridharacharya Formula, cuemath.com
  18. «Sridhara. Quick Info», MacTutor