Espaço de Wiener

Em matemática, o espaço de Wiener clássico é a compilação de todas as funções contínuas em um dado domínio (geralmente um subintervalo da reta real), assumindo valores em um espaço métrico (geralmente um espaço euclidiano de ${\displaystyle n}$ dimensões).^[1] O espaço de Wiener clássico é útil no estudo de processos estocásticos cujos caminhos amostrais forem funções contínuas. Tem este nome graças ao matemático norte-americano Norbert Wiener.

Definição

Considere ${\displaystyle E\subseteq R^{n}}$ e um espaço métrico ${\displaystyle (M,d)}$. O espaço de Wiener clássico ${\displaystyle C(E;M)}$ é o espaço de todas as funções contínuas ${\displaystyle f:E\rightarrow M}$ para todo ${\displaystyle t}$ fixado em ${\displaystyle E}$,

${\displaystyle d(f(s),f(t))\to 0}$ as ${\displaystyle |s-t|\to 0.}$

Em quase todas as aplicações, toma-se ${\displaystyle E=[0,T]}$ ou ${\displaystyle [0,+\infty )}$ e ${\displaystyle M=R^{n}}$ para algum ${\displaystyle n}$ em ${\displaystyle N}$. Por brevidade, escreve-se ${\displaystyle C}$ para ${\displaystyle C([0,T];R^{n})}$; este é um espaço vetorial. Escreve-se ${\displaystyle C_{0}}$ para o subespaço linear que consiste apenas daquelas funções que tomam valor ${\displaystyle 0}$ no ínfimo do conjunto ${\displaystyle E}$. Muitos autores se referem a ${\displaystyle C_{0}}$ como "espaço de Wiener clássico".

Propriedades do espaço de Wiener clássico

Topologia uniforme

O espaço vetorial ${\displaystyle C}$ pode ser equipado com a norma uniforme

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in [0,T]}|f(t)|}$

tornando-o um espaço vetorial normalizado ^{(português brasileiro)} ou normado ^{(português europeu)} (na verdade, um espaço de Banach). Esta norma induz uma métrica em ${\displaystyle C}$ no sentido comum: ${\displaystyle d(f,g):=\|f-g\|}$. A topologia gerada pelos conjuntos abertos nesta métrica é a topologia de convergência uniforme em ${\displaystyle [0,T]}$ ou topologia uniforme.

Considerando o domínio ${\displaystyle [0,T]}$ como "tempo" e o intervalo ${\displaystyle R^{n}}$ como "espaço", uma visão intuitiva da topologia uniforme é que as duas funções estão "próximas" se pudermos "movimentar um pouco o espaço" e fazermos o gráfico de ${\displaystyle f}$ permanecer em cima do gráfico de ${\displaystyle g}$, enquanto deixamos o tempo fixo. Isto contrasta com a topologia de Skorokhod, que nos permite "movimentar" tanto espaço, como tempo.

Separabilidade e completude

No que se refere à métrica uniforme, ${\displaystyle C}$ é um espaço tanto separável, quanto completo:

• a separabilidade é uma consequência do teorema de Stone-Weierstrass;
• a completude é uma consequência do fato de que o limite uniforme de uma sequência de funções contínuas é contínuo.

Por ser tanto separável, como completo, ${\displaystyle C}$ é um espaço polonês.

Tightness no espaço de Wiener clássico

Lembre que o módulo de continuidade para um função ${\displaystyle f:[0,T]\rightarrow R^{n}}$ é definido por

${\displaystyle \omega _{f}(\delta ):=\sup \left\{|f(s)-f(t)|\left|s,t\in [0,T],|s-t|\leq \delta \right.\right\}.}$

Esta definição faz sentido mesmo se ${\displaystyle f}$ não for contínua e pode-se mostrar que ${\displaystyle f}$ é contínua se e somente se seu módulo de continuidade tender a zero conforme ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$:

${\displaystyle f\in C\iff \omega _{f}(\delta )\to 0}$ conforme ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$.

Por uma aplicação do teorema de Arzelà-Ascoli, pode-se mostrar que uma sequência ${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1}^{\infty }}$ de medidas de probabilidade em um espaço de Wiener clássico ${\displaystyle C}$ é tight se e somente se ambas as condições seguintes forem atendidas:

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C||f(0)|\geq a\}=0}$ e

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C|\omega _{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0}$ para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Medida de Wiener clássica

Há uma medida "padrão" em ${\displaystyle C_{0}}$, conhecida como medida de Wiener clássica (ou simplesmente medida de Wiener). A medida de Wiener tem (pelo menos) duas caracterizações equivalentes:

Se o movimento browniano for definido como sendo um processo estocástico com propriedade de Markov ${\displaystyle B:[0,T]\times \Omega \rightarrow R^{n}}$, começando na origem, com caminhos quase certamente contínuos e incrementos independentes

${\displaystyle B_{t}-B_{s}\sim \mathrm {Normal} \left(0,|t-s|\right),}$

então a medida de Wiener clássica ${\displaystyle \gamma }$ é a lei do processo ${\displaystyle B}$.

Alternativamente, pode-se usar a construção do espaço de Wiener abstrato, em que a medida de Wiener clássica ${\displaystyle \gamma }$ é a radonificação da medida gaussiana canônica de conjunto cilíndrico no espaço de Hilbert e de Cameron-Martin correspondente a ${\displaystyle C_{0}}$.

A medida de Wiener clássica é uma medida gaussiana: em particular, é uma medida de probabilidade estritamente positiva.

Dada a medida clássica de Wiener ${\displaystyle \gamma }$ em ${\displaystyle C_{0}}$, a medida produto ${\displaystyle \gamma ^{n}\times \gamma }$ é uma medida de probabilidade em ${\displaystyle C}$, em que ${\displaystyle \gamma ^{n}}$ denota a medida gaussiana padrão em ${\displaystyle R^{n}}$.

Ver também

• Espaço de Skorokhod, uma generalização do espaço de Wiener clássico, que permite que as funções sejam descontínuas
• Processo de Wiener

Referências