Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas Em matemática , uma equação do quarto grau ou equação quártica é uma equação polinomial monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:
a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 , {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,} em que os coeficientes
a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} ,
b {\displaystyle b} ,
c {\displaystyle c} ,
d {\displaystyle d} e
e {\displaystyle e} são elementos de um corpo, geralmente o dos
números reais ou
complexos .
Exemplos
x 4 + 2 x 3 − 13 x 2 − 14 x + 24 = 0 {\displaystyle x^{4}+2x^{3}-13x^{2}-14x+24=0} x 4 − 1 = 0 {\displaystyle x^{4}-1=0} x 4 − 5 x 2 + 6 = 0 {\displaystyle x^{4}-5x^{2}+6=0} Existência de soluções O teorema fundamental da álgebra garante que uma equação quártica sempre terá quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas, no conjunto dos números complexos .
Formas especiais Equação biquadrática Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:
p x 4 + q x 2 + r = 0. {\displaystyle px^{4}+qx^{2}+r=0.} Como
p ≠ 0 {\displaystyle p\neq 0} , esta equação pode ser reduzida a uma
equação do segundo grau através da mudança de variáveis
y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} , de modo que
p y 2 + q y + r = 0. {\displaystyle py^{2}+qy+r=0.} Os valores de
y {\displaystyle y} que satisfazem esta equação são dados pela
fórmula :
y = − q ± q 2 − 4 p r 2 p . {\displaystyle y={\frac {-q\pm {\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}}.} Logo,
x = ± − q + q 2 − 4 p r 2 p {\displaystyle x=\pm {\sqrt {\frac {-q+{\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}}}} e
x = ± − q − q 2 − 4 p r 2 p {\displaystyle x=\pm {\sqrt {\frac {-q-{\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}}}} .
Produtos Notáveis Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida ( x 4 + a x 2 + b x + c = 0 ) , {\displaystyle \left(x^{4}+ax^{2}+bx+c=0\right),} x = − b 4 a . {\displaystyle x=-{\dfrac {b}{4a}}.}
Exemplo: x 4 − 4 x 3 + 6 x 2 − 4 x + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x+1=0} z 4 = 0 , {\displaystyle z^{4}=0,} x = − b 4 a {\displaystyle x=-{\dfrac {b}{4a}}} x = 1. {\displaystyle x=1.} Formula de Wilson x⁴=y²
O método de Ferrari As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari. Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:
x 4 + p x 2 + q = r x {\displaystyle x^{4}+px^{2}+q=rx} Nota-se que a equação geral
a z 4 + b z 3 + c z 2 + d z + e = 0 {\displaystyle az^{4}+bz^{3}+cz^{2}+dz+e=0} pode ser reduzida a este caso através da transformação
z = x − b 4 a , {\displaystyle z=x-{\frac {b}{4a}},} e dividindo a equação resultante por
a {\displaystyle a} .
Ao dividirmos a equação por a {\displaystyle a} z 4 + A z 3 + B z 2 + C z + D = 0 {\displaystyle z^{4}+Az^{3}+Bz^{2}+Cz+D=0} A = b a {\displaystyle A={\frac {b}{a}}} B = c a {\displaystyle B={\frac {c}{a}}} C = d a {\displaystyle C={\frac {d}{a}}} D = e a {\displaystyle D={\frac {e}{a}}} [ 1] z = x − B 4 {\displaystyle z=x-{\frac {B}{4}}} x 4 + p x 2 + q = r x {\displaystyle x^{4}+px^{2}+q=rx} [ 1]
p = B − 3 8 A 2 {\displaystyle p=B-{\frac {3}{8}}A^{2}}
r = − 1 8 A 3 + 1 2 A B − C {\displaystyle r=-{\frac {1}{8}}A^{3}+{\frac {1}{2}}AB-C}
q = − 3 256 A 4 + 1 16 A 2 B − 1 4 A C + D {\displaystyle q=-{\frac {3}{256}}A^{4}+{\frac {1}{16}}A^{2}B-{\frac {1}{4}}AC+D}
A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual ( x 2 + A ) 2 − ( B x + C ) 2 = 0 , {\displaystyle (x^{2}+A)^{2}-(Bx+C)^{2}=0,} equações do segundo grau .
No primeiro passo, o primeiro membro da equação, x 4 + p x 2 + q , {\displaystyle x^{4}+px^{2}+q,} x 4 + q , {\displaystyle x^{4}+q,} x 4 + 2 q x 2 + q : {\displaystyle x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q:}
x 4 + q = r x − p x 2 {\displaystyle x^{4}+q=rx-px^{2}} x 4 + 2 q x 2 + q = ( 2 q − p ) x 2 + r x {\displaystyle x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q=(2{\sqrt {q}}-p)x^{2}+rx} ( x 2 + q ) 2 = r x + ( 2 q − p ) x 2 {\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}=rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}} Em seguida, somam-se termos em uma nova variável
y , {\displaystyle y,} porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar
y 2 , {\displaystyle y^{2},} devemos somar também
2 y ⋅ ( x 2 + q ) , {\displaystyle 2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}}),} ou seja:
( x 2 + q ) 2 + 2 y ⋅ ( x 2 + q ) + y 2 = r x + ( 2 q − p ) x 2 + 2 y ⋅ ( x 2 + q ) + y 2 {\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}+2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}})+y^{2}=rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}+2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}})+y^{2}} Reescrevendo:
( x 2 + q + y ) 2 = ( 2 q − p + 2 y ) x 2 + r x + 2 y q + y 2 {\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}=(2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}} O segundo membro da equação pode ser reescrito como
( 2 q − p + 2 y ) ⋅ ( x − x + ) ⋅ ( x − x − ) , {\displaystyle (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (x-x_{+})\cdot (x-x_{-}),} onde
x + {\displaystyle x_{+}} e
x − {\displaystyle x_{-}} são soluções da equação quadrática
( 2 q − p + 2 y ) x 2 + r x + 2 y q + y 2 = 0 , {\displaystyle (2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}=0,} x = − r ± r 2 − 4 ⋅ ( 2 q − p + 2 y ) ⋅ ( 2 y q + y 2 ) 2 ⋅ ( 2 q − p + 2 y ) {\displaystyle x={\dfrac {-r\pm {\sqrt {r^{2}-4\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (2y{\sqrt {q}}+y^{2})}}}{2\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)}}}
Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que ( 2 q − p + 2 y ) ⋅ ( x − x + ) ⋅ ( x − x − ) {\displaystyle (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (x-x_{+})\cdot (x-x_{-})} x + = x − , {\displaystyle x_{+}=x_{-},}
Em outras palavras, isto requer:
r 2 − 4 ⋅ ( 2 q − p + 2 y ) ⋅ ( 2 y q + y 2 ) = 0 {\displaystyle r^{2}-4\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (2y{\sqrt {q}}+y^{2})=0} que, expandido, gera a
equação do terceiro grau auxiliar:
8 y 3 + ( 24 q − 4 p ) y 2 + ( 16 q − 8 p q ) y − r 2 = 0 , {\displaystyle 8y^{3}+(24{\sqrt {q}}-4p)y^{2}+(16q-8p{\sqrt {q}})y-r^{2}=0,} onde apenas uma raiz
y 1 {\displaystyle y_{1}} é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real). Quando
r ≠ 0 {\displaystyle r\neq 0} , a equação sempre irá possuir uma raiz real positiva
[ 1] .
Retomando o cálculo da incógnita x , {\displaystyle x,} x + = x − = − r 2 ⋅ ( 2 q − p + 2 y ) {\displaystyle x_{+}=x_{-}=-{\dfrac {r}{2\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)}}}
Com isso a equação ( x 2 + q + y ) 2 = ( 2 q − p + 2 y ) ⋅ ( x + r 2 ⋅ ( 2 q − p + 2 y ) ) 2 , {\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}=\left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)\cdot \left(x+{\dfrac {r}{2\cdot \left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)}}\right)^{2},} ( x 2 + q + y ) 2 − ( 2 q − p + 2 y ) 2 ⋅ ( x + r 2 ⋅ ( 2 q − p + 2 y ) ) 2 = 0 , {\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}-\left({\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}\right)^{2}\cdot \left(x+{\dfrac {r}{2\cdot \left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)}}\right)^{2}=0,} ( x 2 + q + y ) 2 − ( x 2 q − p + 2 y + r 8 q − 4 p + 8 y ) 2 = 0 {\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}-\left(x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}\right)^{2}=0}
que resulta em uma diferença de dois quadrados:
x 2 + q + y ± ( x 2 q − p + 2 y + r 8 q − 4 p + 8 y ) = 0 {\displaystyle x^{2}+{\sqrt {q}}+y\pm \left(x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}\right)=0}
Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes:
x 2 + x 2 q − p + 2 y + q + y + r 8 q − 4 p + 8 y = 0 {\displaystyle x^{2}+x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\sqrt {q}}+y+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}=0}
x 2 − x 2 q − p + 2 y + q + y − r 8 q − 4 p + 8 y = 0 {\displaystyle x^{2}-x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\sqrt {q}}+y-{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}=0}
Ver também Referências ↑ a b c Felipe, Henrique (9 de junho 2018). «Algoritmo da Equação do Quarto Grau». Blog Cyberini. Consultado em 4 de julho de 2018 Ligações externas Calculadora de equações do quarto grau Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o
Ver artigo principal: Equação biquadrada
