Distribuição de Cauchy

Distribuição de Cauchy
A curva roxa é a distribuição de Cauchy padrão
Função de distribuição acumulada da distribuição de Cauchy
Parâmetros x 0 ∈ R {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
γ > 0 {\displaystyle \gamma >0}
Suporte x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle \displaystyle x\in (-\infty ,+\infty )}
f.d.p. 1 π γ [ 1 + ( x − x 0 γ ) 2 ] {\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}}
f.d.a. 1 π arctan ⁡ ( x − x 0 γ ) + 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}
Média indefinida
Mediana x 0 {\displaystyle x_{0}}
Moda x 0 {\displaystyle x_{0}}
Variância indefinida
Obliquidade indefinida
Curtose indefinida
Entropia ln ⁡ ( 4 π γ ) {\displaystyle \ln(4\pi \gamma )}
Função Geradora de Momentos não existe
Função Característica exp ⁡ ( x 0 i t − γ | t | ) {\displaystyle \displaystyle \exp(x_{0}it-\gamma |t|)}

A distribuição de Cauchy-Lorentz, assim chamada em homenagem a Augustin Cauchy e Hendrik Lorentz, é a distribuição de probabilidades dada pela função densidade de probabilidade [1]

f ( x ) = 1 π ( 1 + x 2 ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}\,}

A sua média não é definida, logo ela também não tem desvio padrão. O seu segundo cumulante é infinito.

A distribuição de Cauchy pode ser simulada como a razão entre duas normais independentes.

Nome

Em probabilidade e estatística, esta distribuição é conhecida como a distribuição de Cauchy, enquanto que entre físicos, ela é conhecida como a distribuição de Lorentz ou como a distribuição (não-relativística) de Breit-Wigner (dos físicos Gregory Breit e Eugene Wigner).

Propriedades

Distribuição de probabilidade de Cauchy ajustada às precipitações máximas diárias mensais

Se X1, …, Xn forem variáveis aleatórias i.i.d. (independentes e identicamente distribuídas), cada uma com a distribuição de Cauchy. então a sua média aritmética (X1 + … + Xn)/n tem também a distribuição de Cauchy. Demonstra-se isso calculando-se a função característica da média: [2]

ϕ X ¯ ( t ) = E ( e i X ¯ t ) {\displaystyle \phi _{\overline {X}}(t)=\mathrm {E} \left(e^{i\,{\overline {X}}\,t}\right)\,\!}

Em que X ¯ {\displaystyle {\overline {X}}} é a média. Este é um contra-exemplo para o Teorema Central do Limite, exibindo porque a hipótese da variância finita das parcelas deve ser mantida. Este também é um exemplo de uma versão generalizada do Teorema Central do Limite, mostrando propriedades das distribuições estáveis, do qual a Cauchy e a distribuição normal são casos particulares.

Versão multivariada k-dimensional

É fácil notar que a versão multivariada k-dimensional desta densidade é equivalente a uma densidade de Student Multivariada não-central quando temos somente 1 grau de liberdade: [3]

f ( x ; μ , Σ ) = Γ [ ( 1 + k ) / 2 ] Γ ( 1 / 2 ) π k / 2 | Σ | 1 / 2 [ 1 + ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) ] ( 1 + k ) / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f({\mathbf {x} };{\mathbf {\mu } },{\mathbf {\Sigma } })&={\frac {\Gamma \left[(1+k)/2\right]}{\Gamma (1/2)\pi ^{k/2}\left|{\mathbf {\Sigma } }\right|^{1/2}\left[1+({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })^{T}{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })\right]^{(1+k)/2}}}\end{aligned}}}

onde Σ {\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }} e μ {\displaystyle {\mathbf {\mu } }} são uma matriz de covariância e um vetor de locação, respectivamente, parâmetros da densidade.

Ligações externas

  • Calculadora - Distribuição de Cauchy

Referências

  1. ↑ «6.8 - Distribuição de Cauchy - Probabilidades». Portal Action. Consultado em 30 de julho de 2019 
  2. ↑ Clécio da Silva Ferreira - Variáveis Aleatórias Contínuas UFJF 2012
  3. ↑ Fábio Mariano Bayer, Modelagem e Inferência em Regressão Beta , Universidade Federal de Pernambuco, Outubro de 2011
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