Desigualdade de Chebyshev

Em matemática, a desigualdade de Chebyshev, também conhecida por desigualdade de Bienaymé-Chebyshev, é um resultado da teoria da medida com grandes aplicações na teoria das probabilidades. O nome é dado em honra ao matemático russo Pafnuty Chebyshev quem primeiro apresentou uma demonstração ao teorema, e ao estatístico francês Irénée-Jules Bienaymé.

Enunciado

Seja ${\displaystyle \left(X,{\mathfrak {M}},\mu \right)\,}$ um espaço de medida, ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,+\infty ]\,}$ uma função mensurável, ${\displaystyle g:Im(f)\to [-\infty ,+\infty ]\,}$ uma função mensurável não-negativa e não decrescente. Então:

${\displaystyle \mu \left(\left\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\right\}\right)\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .}$

Um caso particular de especial interesse acontece quando substituímos ${\displaystyle f\,}$ por ${\displaystyle |f-c|\,}$ e tomamos ${\displaystyle g:[0,\infty ]\to \mathbb {R} \,}$ como ${\displaystyle g(x)=x^{2}\,}$:

${\displaystyle \mu \left(\left\{x\in X\,:\,\,|f(x)-c|\geq t\right\}\right)\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}|f-c|^{2}\,d\mu .}$

Se ${\displaystyle f\,}$ representa uma distribuição de probabilidades com média ${\displaystyle \mu \,}$ e desvio padrão ${\displaystyle \sigma \,}$ então:

${\displaystyle \Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}\,}$

Demonstração

Defina ${\displaystyle A_{t}:=\{x\in X:f(x)\geq t\}\,}$ e seja ${\displaystyle \mathrm {X} _{A_{t}}\,}$ a função indicadora de ${\displaystyle A_{t}\,}$ em ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]\,}$. Então:

${\displaystyle 0\leq g(t)1_{A_{t}}\leq g\circ f\,1_{A_{t}}\leq g\circ f\,}$

E, portanto:

${\displaystyle g(t)\mu (A_{t})=\int _{X}g(t)1_{A_{t}}\,d\mu \leq \int _{A_{t}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu \,}$

E o resultado segue dividindo a desigualdade obtida por ${\displaystyle g(t)\,}$.

Bibliografia

• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (28 de novembro de 2009). Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (em inglês). [S.l.]: Princeton University Press