Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Em álgebra linear e geometria analítica, a desigualdade de Cauchy-Schwarz, também conhecida como a desigualdade de Schwarz, a desigualdade de Cauchy, ou a desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, é uma desigualdade muito útil que aparece em vários contextos diferentes, tais como em análise, aplicando-se a séries infinitas e integração de produtos, e na teoria de probabilidades aplicando-se as variâncias e covariâncias.

A desigualdade garante que, dado um espaço vetorial V {\displaystyle V} com produto interno ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : V × V → R {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow \mathbb {R} } , então para quaisquer dois vetores u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in V} se tem

⟨ u , v ⟩ 2 ≤ ⟨ u , u ⟩ ⋅ ⟨ v , v ⟩ {\displaystyle \langle u,v\rangle ^{2}\leq \langle u,u\rangle \cdot \langle v,v\rangle }

com igualdade se, e só se, u e v forem linearmente dependentes[1].

Essa desigualdade para somas foi publicada por Augustin Cauchy (1821), enquanto a correspondente desigualdade para integrais foi primeiro estabelecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) e redescoberta por Hermann Amandus Schwarz (1888) (às vezes chamado erroneamente de "Schwartz").

Exemplo

Se x e y são vectores com n coordenadas a desigualdade toma a forma

( a 1 b 1 + ⋯ + a n b n ) 2 ≤ ( a 1 2 + ⋯ + a n 2 ) ( b 1 2 + ⋯ + b n 2 ) . {\displaystyle (a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+\cdots +b_{n}^{2}).}

Em análise esta desigualdade pode ser aplicada a séries infinitas.

Demonstração (Caso complexo)

Como a desigualdade é trivialmente verdadeira no caso y = 0, podemos assumir que ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle \langle y,y\rangle } é diferente de zero.

Seja λ {\displaystyle \lambda } um número complexo. Então,

0 ≤ ‖ x − λ y ‖ 2 = ⟨ x − λ y , x − λ y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ − λ ¯ ⟨ x , y ⟩ − λ ⟨ y , x ⟩ + | λ | 2 ⟨ y , y ⟩ . {\displaystyle 0\leq \left\|x-\lambda y\right\|^{2}=\langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle -{\bar {\lambda }}\langle x,y\rangle -\lambda \langle y,x\rangle +|\lambda |^{2}\langle y,y\rangle .}

Escolhendo

λ = ⟨ x , y ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ − 1 {\displaystyle \lambda =\langle x,y\rangle \cdot \langle y,y\rangle ^{-1}}
temos que

0 ≤ ⟨ x , x ⟩ − | ⟨ x , y ⟩ | 2 ⋅ ⟨ y , y ⟩ − 1 {\displaystyle 0\leq \langle x,x\rangle -|\langle x,y\rangle |^{2}\cdot \langle y,y\rangle ^{-1}}

o que é verdadeiro, se e somente se

⟨ x , y ⟩ 2 ≤ ⟨ x , x ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle ^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }

ou de modo equivalente:

| ⟨ x , y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ . {\displaystyle {\big |}\langle x,y\rangle {\big |}\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|.}
Q.E.D.

Demonstração 2 (Caso real)

Se y {\displaystyle y} for o vector nulo, o resultado é imediatamente verdadeiro. Suponhamos, agora, que y ≠ 0. {\displaystyle y\neq 0.}

Para um número real t , {\displaystyle t,} arbitrário, tem-se, pelas propriedades do produto interno:

⟨ x − t y , x − t y ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle x-ty,x-ty\rangle \geq 0}

Desenvolvendo esta desigualdade:

⟨ x − t y , x − t y ⟩ ≥ 0 ⇔ ( x − t y ) T ( x − t y ) ≥ 0 {\displaystyle \langle x-ty,x-ty\rangle \geq 0\Leftrightarrow \left(x-ty\right)^{T}\left(x-ty\right)\geq 0}
⇔ ( x − t y ) T ( x − t y ) ≥ 0 ⇔ ( x T − t y T ) ( x − t y ) ≥ 0 {\displaystyle \Leftrightarrow \left(x-ty\right)^{T}\left(x-ty\right)\geq 0\Leftrightarrow \left(x^{T}-ty^{T}\right)\left(x-ty\right)\geq 0}
⇔ x T x − t x T y − t y T x + t 2 y T y ≥ 0 ⇔ x T x − 2 t x T y + t 2 y T y ≥ 0 {\displaystyle \Leftrightarrow x^{T}x-tx^{T}y-ty^{T}x+t^{2}y^{T}y\geq 0\Leftrightarrow x^{T}x-2tx^{T}y+t^{2}y^{T}y\geq 0}
⇔ x T x − 2 t x T y + t 2 y T y ≥ 0 {\displaystyle \Leftrightarrow x^{T}x-2tx^{T}y+t^{2}y^{T}y\geq 0}

O membro do lado esquerdo desta equação é um polinómio do segundo grau em t , {\displaystyle t,} com a concavidade voltada para cima, pois o termo em t 2 {\displaystyle t^{2}} é a norma de um vector. Assim sendo, só será não-negativo (condição necessária para manter a desigualdade) se não tiver zeros, o que só acontece se o seu binómio discriminante for menor ou igual que zero. Simbolicamente:

⇔ x T x − 2 t x T y + t 2 y T y ≥ 0 ⇔ ( − 2 x T y ) 2 − 4 y T y x T x ≤ 0 {\displaystyle \Leftrightarrow x^{T}x-2tx^{T}y+t^{2}y^{T}y\geq 0\Leftrightarrow \left(-2x^{T}y\right)^{2}-4y^{T}yx^{T}x\leq 0}
⇔ 4 ( ( x T y ) 2 − y T y x T x ) ≤ 0 ⇔ ( x T y ) 2 − y T y x T x ≤ 0 {\displaystyle \Leftrightarrow 4\left(\left(x^{T}y\right)^{2}-y^{T}yx^{T}x\right)\leq 0\Leftrightarrow \left(x^{T}y\right)^{2}-y^{T}yx^{T}x\leq 0}

Sabendo que x T x = ⟨ x , x ⟩ = ‖ x ‖ 2 , {\displaystyle x^{T}x=\langle x,x\rangle =\|x\|^{2},}

⇔ ⟨ x , y ⟩ 2 − ‖ x ‖ 2 ‖ y ‖ 2 ≤ 0 ⇔ ⟨ x , y ⟩ 2 ≤ ‖ x ‖ 2 ‖ y ‖ 2 {\displaystyle \Leftrightarrow \langle x,y\rangle ^{2}-\|x\|^{2}\|y\|^{2}\leq 0\Leftrightarrow \langle x,y\rangle ^{2}\leq \|x\|^{2}\|y\|^{2}}

⇔ ⟨ x , y ⟩ ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ . {\displaystyle \Leftrightarrow \langle x,y\rangle \leq \|x\|\|y\|.}
Q.E.D.

Para a última parte do teorema, basta observar que apenas haverá igualdade se a função em t {\displaystyle t} tiver uma única raiz real, o que só acontece se ⟨ x − t y , x − t y ⟩ = 0 {\displaystyle \langle x-ty,x-ty\rangle =0} e implica que x = t y , {\displaystyle x=ty,} que é o mesmo que dizer que os vectores são linearmente dependentes.

Referências

  1. ↑ QUEIRÓ, J. F.; SANTANA, A. P. (2010). Introdução à Álgebra Linear (1.ª edição). Gradiva ISBN 978-989-636-372-3. Páginas 147 e 148.

Ver também