Wielomian cyklotomiczny

Dla dowolnej liczby naturalnej ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$-ty wielomian cyklotomiczny jest zdefiniowany jako

${\displaystyle \Phi _{n}(X)=\prod _{\xi }(X-\xi )=\prod _{\stackrel {1\leqslant k\leqslant n}{\gcd(k,n)=1}}\left(X-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right),}$

gdzie iloczyn przebiega przez wszystkie pierwiastki pierwotne z jedynki stopnia ${\displaystyle n}$ (takie, że ${\displaystyle \xi }$ nie jest pierwiastkiem mniejszego stopnia).

Własności

• stopień ${\displaystyle \Phi _{n}(X)}$ wynosi ${\displaystyle \phi (n)}$ (funkcja Eulera);
• wielomian ${\displaystyle \Phi _{n}(X)}$ dzieli ${\displaystyle X^{n}-1,}$ ale nie dzieli ${\displaystyle X^{k}-1}$ dla żadnego ${\displaystyle k<n;}$
• współczynniki ${\displaystyle \Phi _{n}(X)}$ są całkowite;
• wielomian ${\displaystyle \Phi _{n}(X)}$ jest nierozkładalny nad ciałem liczb wymiernych;
• ciało cyklotomiczne, będące rozszerzeniem ciała liczb wymiernych o pierwiastki ${\displaystyle n}$-tego stopnia z jedności, jest ciałem rozkładu wielomianu ${\displaystyle \Phi _{n}(X);}$
• zachodzą wzory

${\displaystyle X^{n}-1=\prod _{d|n}\Phi _{d}(X),}$

${\displaystyle \Phi _{n}(X)=\prod _{d|n}(X^{d}-1)^{\mu ({\frac {n}{d}})},}$

gdzie ${\displaystyle \mu (n)}$ jest funkcją Möbiusa.

Dla liczb pierwszych ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \Phi _{p}(X)=X^{p-1}+X^{p-2}+\dots +X+1.}$

Wielomiany cyklotomiczne mogą być wykorzystane przy elementarnym dowodzie istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych przystających do 1 modulo ${\displaystyle n}$ (szczególny przypadek twierdzenia Dirichleta).

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cyclotomic Polynomial, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).