Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego

Ten artykuł dotyczy podstawowego twierdzenia Cauchy’ego. Zobacz też: inne twierdzenia Cauchy’ego.

Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego – twierdzenie analizy zespolonej orzekające, że dla funkcji holomorficznej całka z niej po drodze zamkniętej – tzw. całka okrężna – jest równa zero. Twierdzenie to było sformułowane i udowodnione przez Augustina Cauchy’ego, który wyprowadził z niego szereg podstawowych własności funkcji analitycznych.

Twierdzenie to ma wiele nazw: twierdzenie Cauchy’ego o całce krzywoliniowej bądź twierdzenie całkowe Cauchy’ego, ale również twierdzenie Cauchy’ego-Goursata, czy nawet lemat Goursata (nie mylić z lematem Goursata w teorii grup).

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ będzie obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ograniczonym przedziałami gładką krzywą zamkniętą ${\displaystyle C,}$ ponadto ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ oznacza funkcję analityczną na obszarze ${\displaystyle U,}$ dla którego ${\displaystyle D\cup C\subseteq U.}$ Wówczas

${\displaystyle \oint \limits _{C}f(z)\;\mathrm {d} z=0.}$

Wnioski

• Jeśli funkcja ${\displaystyle f(z)}$ jest analityczna w obszarze jednospójnym ${\displaystyle D}$ oraz ${\displaystyle a,b\in D,}$ to dla każdych kawałkami gładkich krzywych ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ łączących ${\displaystyle a}$ z ${\displaystyle b}$ mamy

${\displaystyle \int _{C_{1}}f(z)\;dz=\int _{C_{2}}f(z)\;dz.}$

Zatem możemy zdefiniować całkę

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(z)\;dz}$

(tzn. nie zależy ona od drogi całkowania).

• Dla ${\displaystyle D,f,a}$ jak powyżej określmy funkcję ${\displaystyle \Phi :D\longrightarrow \mathbb {C} }$ przez

${\displaystyle \Phi (z)=\int _{a}^{z}f(\zeta )\;d\zeta .}$

Wówczas funkcja ${\displaystyle \Phi }$ jest analityczna oraz ${\displaystyle \Phi '(z)=f(z).}$

• Niech ${\displaystyle f(z)}$ będzie funkcją analityczną w obszarze jednospójnym ${\displaystyle D}$ z wyjątkiem punktów ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}}$ oraz niech ${\displaystyle C\subset D}$ będzie kawałkami gładką krzywą Jordana otaczającą wszystkie punkty ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}}$ (tzn. punkty te leżą we wnętrzu obszaru ograniczonego krzywą C). Wybierzmy liczbę dodatnią ${\displaystyle r>0,}$ taką że okręgi ${\displaystyle K(z_{i},r)}$ o środku w ${\displaystyle z_{i}}$ i promieniu ${\displaystyle r}$ (dla ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$) nie przecinają się i nie przecinają krzywej. Wówczas

${\displaystyle \oint \limits _{C^{+}}f(z)dz=\sum _{i=1}^{n}\oint \limits _{K(z_{i},r)}f(z)dz.}$

(Całki powyżej są po krzywych skierowanych dodatnio).

Zobacz też

• twierdzenie o residuach
• wzór całkowy Cauchy’ego

Bibliografia

• Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 89–95.
• Stanisław Saks, Antoni Zygmund: Funkcje analityczne. Warszawa-Lwów-Wilno: 1938, s. 105–108, seria: Monografie Matematyczne. Tom 10. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki.