Topologia porządkowa

Topologia porządkowa – topologia wyznaczona przez porządek liniowy w pewnym zbiorze. Naturalnym przykładem topologii porządkowej jest prosta rzeczywista z topologią generowaną przez przedziały otwarte.

Konstrukcja

Niech ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ będzie zbiorem co najmniej dwuelementowym liniowo uporządkowanym. Dla ${\displaystyle a,b\in X\,a<b}$ określamy zbiory

• ${\displaystyle (a,b)=\{x\in X\colon \,a<x<b\},}$
• ${\displaystyle (\leftarrow ,a)=\{x\in X\colon \,x<a\},}$
• ${\displaystyle (a,\rightarrow )=\{x\in X\colon \,a<x\},}$

które będziemy nazywać przedziałami. Rodzina wszystkich zbiorów tej postaci, spełnia warunki B1-B2, a więc wyznacza bazę pewnej topologii. Topologię tę nazywa się topologią przedziałową bądź topologią wyznaczoną przez rodzinę przedziałów.

Topologie porządkowe dolne i górne

Oczywiście rodziny ${\displaystyle \{(\leftarrow ,a)\colon \,a\in X\},}$ ${\displaystyle \{(a,\rightarrow )\colon \,a\in X\}}$ również spełniają warunki B1-B2, ale wyznaczają inne topologie. Topologie te nazywamy topologiami porządkowymi, odpowiednio, dolną i górną.

Własności

• Jeżeli zbiór liniowo uporządkowany w sposób gęsty zawiera przeliczalny podzbiór gęsty ${\displaystyle D}$ oraz wprowadzimy w tym zbiorze topologię porządkową, to ma ona ciężar przeliczalny. Istotnie, poniższa rodzina przedziałów jest przeliczalną bazą tej topologii:

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\{(a,b)\colon \;a,b\in D\}\cup \{(\leftarrow ,a)\colon \;a\in D\}\cup \{(a,\rightarrow )\colon \;a\in D\}\}.}$

• Każda przestrzeń topologiczna z topologią porządkową jest przestrzenią typu T₁.

Zobacz też

• miara Dieudonnégo