Spirala Fermata

Spirala Fermata obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

Spirala Fermata, spirala paraboliczna – krzywa na płaszczyźnie, będąca uogólnieniem spirali Archimedesa. Ma tę właściwość, że pole powierzchni zawarte pomiędzy dwoma kolejnymi pełnymi zwojami spirali jest stałe. W rezultacie odległość między zwojami maleje, w przeciwieństwie do spirali Archimedesa (dla której ta odległość jest stała) i spirali logarytmicznej (dla której odległość między zwojami spirali jest proporcjonalna do ich odległości od środka).

Spirala Fermata jest tak nazwana na cześć Pierre’a de Fermata.

Spirala Fermata znalazła zastosowanie w modelowaniu wzrostu roślin i kształtów niektórych galaktyk spiralnych, a także w projektowaniu kondensatorów o zmiennych pojemnościach, luster słonecznych i cyklotronów.

Współrzędne biegunowe

Jedna gałąź spirali Fermata, obracającej się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, dana równaniem r = + a φ , a > 0 {\displaystyle r=+a{\sqrt {\varphi }},a>0}

(I) We współrzędnych biegunowych spirala Fermata obracająca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dana jest równaniami:

{ r = + a φ r = − a φ {\displaystyle {\begin{cases}r=+a{\sqrt {\varphi }}\\r=-a{\sqrt {\varphi }}\end{cases}}}

gdzie φ ∈< 0 , + ∞ ) , {\displaystyle \varphi \in <0,+\infty ),} a {\displaystyle a} – stały parametr spirali: im większa jego wartość, tym większa odległość między zwojami spirali, przy czym: (1) gdy a > 0 , {\displaystyle a>0,} to pierwsze równania opisuje gałąź spirali jak na rysunku obok, zaś drugie równanie opisuje drugą gałąź (por. rysunek górny); (2) gdy a < 0 , {\displaystyle a<0,} to ramiona są zamienione miejscami.

(II) Podobnie, we współrzędnych biegunowych spirala Fermata obracająca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara dana jest równaniami:

{ r = + a − φ r = − a − φ {\displaystyle {\begin{cases}r=+a{\sqrt {-\varphi }}\\r=-a{\sqrt {-\varphi }}\end{cases}}}

gdzie φ ∈ ( − ∞ , 0 > ) , {\displaystyle \varphi \in (-\infty ,0>),} a {\displaystyle a} – stały parametr spirali.

Współrzędne kartezjańskie

Przechodząc od równania we współrzędnych biegunowych do równania we współrzędnych kartezjańskich za pomocą przekształceń:

{ x = r cos ⁡ φ y = r sin ⁡ φ {\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases}}}

równanie parametryczne jednej gałęzi spirali Fermata obracającej się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara przyjmuje postać:

{ x ( φ ) = + a φ cos ⁡ ( φ ) y ( φ ) = + a φ sin ⁡ ( φ ) {\displaystyle {\begin{cases}x(\varphi )=+a{\sqrt {\varphi }}\cos(\varphi )\\y(\varphi )=+a{\sqrt {\varphi }}\sin(\varphi )\end{cases}}}

a równanie drugiej gałęzi przyjmie postać:

{ x ( φ ) = − a φ cos ⁡ ( φ ) y ( φ ) = − a φ sin ⁡ ( φ ) {\displaystyle {\begin{cases}x(\varphi )=-a{\sqrt {\varphi }}\cos(\varphi )\\y(\varphi )=-a{\sqrt {\varphi }}\sin(\varphi )\end{cases}}}

przy czym φ ∈< 0 , + ∞ ) {\displaystyle \varphi \in <0,+\infty )} – kąt, a {\displaystyle a} – stały parametr spirali.

Dla spirali obracającej się zgodnie z ruchem wskazówek zegara równania są analogiczne.

Zobacz też

  • lista krzywych
  • loksodroma
  • spirala Archimedesa
  • spirala hiperboliczna
  • spirala logarytmiczna
  • spirala złota

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fermat’s Spiral, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
  • Online exploration using JSXGraph (JavaScript)
Encyklopedie internetowe (generalized Archimedean spiral):
  • Britannica: topic/Fermats-spiral